ZERO é número NATURAL!
A Direção da APM tem sido contactada no sentido de se pronunciar sobre a questão "É o ZERO um número NATURAL!". Esta será, com certeza, uma questão de definição.
No entanto, e considerando que à APM compete contribuir para o melhor esclarecimento deste assunto, evitando que o mesmo se torne num assunto central no que concerne à implementação das Aprendizagens Essenciais de Matemática do Ensino Básico.
A APM considera que o documento das AE de Matemática do Ensino Básico, que esperamos, exigiremos e contribuiremos, será complementado pela formação contínua de professores, pelo apoio efetivo aos professores quanto à necessidade de tempo para este trabalho, e ainda por documentos/recursos pedagógicos complementares, é uma oportunidade para todos construirmos colaborativamente um ensino-aprendizagem de Matemática pró século XXI.
Relativamente ao assunto, que gostaríamos que se transformasse numa oportunidade pedagógica de discutir ciência e a sua história com os alunos, solicitamos a quem de direito informação que pudéssemos partilhar publicamente.
Agradecendo a disponibilidade manifestada para o podermos publicar no site da APM, deixamos de seguida o texto, na íntegra, que nos foi enviado como "Notas sobre o número zero ser um número natural".
Lisboa, 18 de julho de 2022
A Direção da APM
"A APM SOMOS TODOS NÓS"
_______________ Informação prestada, por solicitação da APM, em 17 de outubro de 2022_______________
Aprendizagens Essenciais de Matemática para o Ensino Básico
Notas sobre o número zero ser um número natural
Tendo conhecimento que, nalgumas oficinas de formação que já arrancaram, tem surgido a dúvida das razões pelas quais este novo programa de Matemática para o Ensino Básico considera o número zero um número natural, a equipa de autores das novas Aprendizagens Essenciais de Matemática para o Ensino Básico esclarece que:
Nestas AE (2021) o zero é um número natural. A razão essencial desta opção tem a ver com o sentido do número. Se um número natural é aquele que serve para contar quantidades inteiras, então o zero fica bem aqui incluído. É o número que traduz não ter nada para contar, ou então a situação de ter n berlindes e dar todos, e exprimir com quantos ficamos.
O zero deve ser considerado um número natural em todos os anos de escolaridade do ensino básico. Notamos que, no ensino secundário, os alunos já têm maturidade para aceitar que há autores que possam assumir outra convenção, e será positivo que compreendam que ao fazê-lo os autores não estão a cometer nenhuma incorreção, desde que haja coerência e respeito pelas definições e notações por si introduzidas. Caberá à equipa responsável pelos novos programas de Matemática para o ensino secundário tomar as opções que lhes parecer mais adequadas, relativamente a esta questão.
Contudo, definições distintas para o mesmo conjunto numa mesma disciplina, num mesmo ano ou ciclo, não devem ocorrer. Esclarecemos, ainda que não há definições distintas no caso das sequências e sucessões. As sequências e as sucessões podem ser definidas para naturais maiores ou iguais a 1, embora também o possam ser para ordens a começar no 0; em boa verdade a ordem pode iniciar-se no natural que seja mais conveniente, como por exemplo para a sucessão (1/n-1) cuja primeira ordem é n=2. A vantagem de associar 1 à primeira ordem é, sobretudo nos primeiros anos de trabalho com sequências numéricas, a de identificar a ordem com a posição numa sequência dada.
Não há consenso entre os matemáticos quanto à opção a tomar em relação a esta questão. Por exemplo, em https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html pode ler-se
"The term "natural number" refers either to a member of the set of positive integers 1, 2, 3, ... (OEIS A000027) or to the set of nonnegative integers 0, 1, 2, 3, ... (OEIS A001477; e.g., Bourbaki, 1968, Halmos, 1974). Regrettably, there seems to be no general agreement about whether to include 0 in the set of natural numbers. In fact, Ribenboim (1996) states "Let P be a set of natural numbers; whenever convenient, it may be assumed that 0 belongs to P.”
“The set of natural numbers (whichever definition is adopted) is denoted N."
Em Portugal, o mesmo se verifica no Ensino Superior. Acontece mesmo que numa mesma licenciatura em Matemática, existem unidades curriculares (como as de Análise Matemática ou Cálculo) onde mantêm a convenção mais antiga de assumir que o zero não é um número natural e existem outras unidades curriculares (como Matemática Discreta, Combinatória, Lógica, Teoria de Conjuntos e unidades curriculares em Ciência da Computação) onde é introduzida a convenção atualmente mais comum de tomar o zero como o primeiro dos números naturais. Esta diferença não constitui um problema desde que no início de cada unidade curricular os alunos sejam informados de qual a opção tomada e que tudo o que se faça nessa unidade curricular seja com ela coerente.
Atendendo a que os nossos alunos realizam provas internacionais, é também desejável que definições e notações sejam tanto quanto possível as consideradas nos currículos de Matemática de outros países. Ainda que em inglês seja frequente usar as expressões “natural numbers” para os números naturais maiores ou iguais a 1, “whole numbers” para os números 0,1,2,…, “integer numbers" para os números inteiros, encontramos currículos de Matemática para o 1.º ano em países de língua inglesa, que incluem a introdução dos números 0,1,2,…, quer usando a designação “whole numbers”, quer usando a designação “natural numbers” (entre os quais incluem, implicitamente ou explicitamente, o zero). A consulta de outros currículos permite concluir o mesmo: quando empregue a designação números naturais, o zero está incluído (por exemplo o currículo italiano para o 1.º ano inclui como objectivo Leggere e scrivere i numeri naturali-Saper costruire i numeri da 0 a 20).
Vale a pena acrescentar o que refere a este respeito a entidade ISO (International Organization for Standardization - https://www.iso.org/search.html?q=80000) que aprova normas internacionais em várias áreas, entre as quais Quantidades e Unidades (com uma das partes dedicada à Matemática e em que são especificadas notações matemáticas e explicados os seus significados), e que congrega os grémios de normalização de 162 países, incluindo Portugal desde 1949. Nas orientações dadas pela norma ISO 80000-2:2019(en) Quantities and units — Part 2: Mathematics, aliás como acontecia já com as da norma por ela actualizada (esta outra publicada em 2009), são já refletidas nas notações usadas na matemática do ensino básico ao ensino universitário:
(Fonte: Tabela da página 12 da norma de 2019)
Os autores das Aprendizagens Essenciais de Matemática para o Ensino Básico
___________________________________________________