Alfinetes ligados

Inicialmente não percebemos o que os senhores queriam com esta actividade, mas afinal era bem interessante, fácil e um desafio giro.

Cá vai então a nossa resolução:

Tal como propuseram, fomos desenhando circunferências com 5, 6, 7,... alfinetes e unimos mantendo sempre os mesmos arcos de afastamento tal como vamos agora explicar.

Com 5 alfinetes:

Se for 1 arco, gastamos1 fio.

" forem 2 arcos, gastamos 1 fio.

"      "   3        " ,      "           "  " .

"      "   4        " ,      "           "  " .

Conclusões:

• Independentemente do número de arcos é sempre necessário só 1 fio.

• Só podemos ir até 4 arcos de afastamento, porque se forem 5 arcos fico sempre no ponto inicial.

Com 6 alfinetes:

Que giro! São valores iguais!

Conclusões:

• Só podemos ir até 5 arcos de afastamento, porque se forem 6 arcos fico sempre no ponto inicial.

Se for 1 arco, gastamos 1 fio.

" forem 2 arcos, gastamos1 fio.

"      "   3        " ,      "          "  " .

"      "   4        " ,      "          "  " .

"      "   5        " ,      "          "  " .

"      "   6        " ,      "          "  " ..

Conclusões:

• Só podemos ir até 6 arcos de afastamento, porque se forem 7 arcos fico sempre no ponto inicial.

• Independentemente do número de arcos é sempre necessário só 1 fio.

Que giro, outra vez! Há, de novo simetria!

Conclusões:

• Só podemos ir até 6 arcos de afastamento, porque se forem 7 arcos fico sempre no ponto inicial.

Se for 1 arco, gastamos 1 fio.

" forem 2 arcos, gastamos 1 fio.

"      "   3        " ,      "          3  " .

"      "   4        " ,      "          1  " .

"      "   5        " ,      "          1  " .

"      "   6        " ,      "          3  " .

"      "   7        " ,      "          1  " .

"      "   8        " ,      "          1  " .

Conclusões:

• Só podemos ir até 7 arcos de afastamento, porque se forem 8 arcos fico sempre no ponto inicial.

Mantém-se a simetria, outra vez!

Conclusões:

• Só podemos ir até 7 arcos de afastamento, porque se forem 8 arcos fico sempre no ponto inicial.

Para confirmar a nossa teoria também experimentamos com 11 alfinetes. E tal como esperávamos o número de fios que tínhamos que utilizar era sempre 1.

Então as nossas conclusões finais, são:

I - Se o número de alfinetes for par o máximo de números de fios é metade do número de alfinetes.

II - Parece que, sempre que o número de alfinetes é primo, quaisquer que sejam os arcos de afastamento utiliza-se sempre 1 fio.

III - O número mínimo de arcos de afastamento é de 1 e o número máximo é menos 1 que o número de alfinetes.

Mário e Manuel, parabéns pela vossa participação. Foi com agrado que verificámos que o Mário voltou a responder às propostas do I&P.

Quando estávamos a escrever o enunciado desta proposta tivemos alguma dificuldade em o tornar mais simples e claro. O modo que encontrámos para vos ajudar foi utilizando exemplos. Por outro lado, sabemos que, na maior parte dos casos, vocês podem contar com a ajuda do vosso professor.

Gostámos muito do modo como apresentaram a vossa investigação, nomeadamente a forma como representaram a simetria e as observações que fizeram lateralmente.

As vossas conclusões finais estão muito bem organizadas mas reparem que esqueceram-se de fazer referência à "simetria" descoberta.

Relativamente à conclusão I, porque será que o número máximo de fios necessários é metade do número de alfinetes?

Aguardamos a vossa resolução à proposta lançada em Janeiro de 1999 – "Números em escada".

A equipa do I&P