Os números que têm 3 divisores apenas são os quadrados perfeitos de números primos (P , x ou outra incógnita), pois esse nº terá como divisores o 1, si próprio e a sua raíz quadrada. Como esta é um nº primo, não se pode dividir noutros factores primos, sendo estas as únicas soluções.

Os nºs que têm 4 divisores apenas são os produtos de 2 nºs primos diferentes (ou ) ou o cubo de um nº primo:

(aqui, a única diferença com o de 3 divisores é o facto de, no de 3, os divisores do meio serem iguais)

Os nºs que apenas têm 5 divisores são primos elevados a 4, pelo mesmo processo:

Quais os tipos de número que têm 'n' divisores? Aqui estão alguns casos:

1.

2.

3.

4.

5.

1. "Se o nº de divisores ('n') puder ser igual a 'a', todos os nºs primos elevados a 'a-1' têm 'n' divisores." Isto acontece, pois, para além do 1, os outros divisores serão os valores do 'x', que se vão multiplicando progressivamente até todos terem sido multiplicados, sendo por isso '1+a' divisores, para 'x' elevado a 'a'. (Lembrar que x, y e z representam nºs primos).

2. "Se o nº de divisores puder ser igual a uma potência de 2, todos os produtos de 'a' nºs primos diferentes têm 'n' divisores." Isto deve-se ao facto do nº de divisores de um nº deste tipo ser igual a 2 vezes o nº de divisores desse nº com um factor a menos, pois sempre que adicionamos um factor (primo), este vai modificar todos os divisores. Os divisores desse novo nº vão ser os do antigo mais os que foram multiplicados pelo novo factor (que são todos). Assim:

Nota: representa o nº de divisores de um nº resultante da expressão 'b'.

Uma particularidade dos divisores deste tipo de nº (que são as multiplicações possíveis entre os factores primos, tal como em todos os outros casos) é o facto de cada factor aparecer em metade dos produtos possíveis (divisores).

3. O nº de divisores de um nº deste tipo ( ) é igual ao nº de divisores de um nº do tipo mais o nº de divisores desse mesmo nº, onde o '' está presente ( ). Assim:

Isto acontece porque o ( ou x ) que o nº do tipo do ponto 2 vai ter a mais só vai influenciar nos divisores onde 'x' está presente, porque nos outros iria repetir divisores.

4. Com o tipo de nº ( ou ), se ignorarmos os divisores 1 e 'x', que estão sempre presentes, ficamos com:

- A divisão em potências do ( n = a + 1 );

- Os 'x' que se vão juntar às divisões do , formando um nº igual de divisores diferentes (pelo 'x' que se juntou), Ficamos, então com:

5. Aqui, os divisores de serão as divisões em potências do e do
( n = a +1 + a + 1 ) e as interacções entre estas. Como aqui há um divisor que é comum (o 1), essas divisões em potências serão apenas 'a + 1 + a' (em nº de divisões). E como o 1, ao multiplicar os outros divisores, nada modifica, apenas vão interagir as divisões (em pot.) de com as de , sendo o 1 excluído. Logo, o nº de interacções vai ser ''. Assim:

Em algumas expressões, o 'a' não está compreensível. Peço desculpa pela ocorrência. No entanto é a única coisa que não se precebe, sendo por isso de fácil identificação.

Parte B

Nota: As letras são usadas apenas para marcar (com distinção) os divisores (D) dos diferentes números (nº).

No caso da Tabela, especificamente, há algumas regularidades:

1. Nos múltiplos de 1, um dos divisores há-de ser o , aparecendo, portanto em todos os nºs.

Nos múltiplos de 2, um dos divisores há-de ser o . Como eles (os múltiplos) vão alternando (pares / ímpares), a frequência dos divisores reduz-se a metade, assim como a "distância" ao nº, na Tabela, devido a esse divisor ser igual a . O primeiro divisor dos múltiplos de 2 pertence ao 2, por este ser o primeiro (múltiplo).

(Nos múltiplos de 'n', um dos divisores há-de ser o . Como eles (os múltiplos) vão alternando conforme o valor de 'n', a frequência dos divisores reduz-se a , assim como a "distância" ao nº, na Tabela, devido a esse divisor ser igual a . O primeiro divisor dos múltiplos de 'n' pertence a 'n', por este ser o primeiro (múltiplo)).

Assim, os divisores de cada tipo de múltiplo, que correspondem a esse múltiplo sobre o nº de que ele é múltiplo, podem ser agrupados em "rectas" (na Tabela) que começam nesse nº e cuja inclinação também deste depende. Isto pode ser observado na Tabela acima: essas "rectas" são os grupos formados por letras iguais. Portanto (como exemplo), os 'b's representam os nºs por que o 2 foi multiplicado para fazer cada múltiplo (de 2). Assim,

2. Nesta Tabela pode também verificar-se que, numa análise vertical (de cada divisor), a frequência das letras do alfabeto é de 1 em cada 'D'. Isto deve-se ao facto de haver um múltiplo de 'D' em cada 'D' nºs consecutivos, pois entre cada múltiplo há 'D - 1' nºs, porque, para se fazer o múltiplo seguinte de 'D' basta adicionar 'D'. (Ex.: 12;13;14 -- 13;14;15).

3. Considere-se, então a seguinte correspondência: a=1; b=2; c=3; d=4; etc.

Uma particularidade na disposição desta Tabela é a de que em cada 'D', o 'nº' onde se encontra a letra correspondente a 'D' é o quadrado de 'D'. Isto é devido ao facto de (Ex.: , onde b=2) (ver ponto 1.). Assim, se a letra corresponde a 'D', .

Apreciámos muito o teu trabalho pois para além de revelar que tens capacidade para enfrentar problemas, organizar e sistematizar os resultados, surpreendeu-nos o grau de formalização que conseguiste.

Consideramos que revelaste muita criatividade na elaboração da tabela, na segunda parte, bem como na análise que fizeste das suas regularidades.

Pensamos que, antes de escreveres a tua resposta, houve um excelente trabalho. Ficamos curiosos sobre alguns aspectos que poderiam ter ocorrido nesta fase, como por exemplo:

- que conjecturas terás formulado?

- algumas foram reformuladas?

- surgiram-te questões que não conseguiste responder?

- estavas familiarizado com situações deste tipo (actividades de investigação)?

Esperamos a tua participação nos próximos desafios que vamos propôr.

A equipa do Investiga e Partilha