1ª Parte

Comecei por fazer a continuação da tabela que nos foi dada até 254, no exel. Após isto organizei os resultados numa outra tabela onde se podia observar quantos divisores tinha cada número, tendo ainda verificado quantos divisores tinham os números 256, 324, 400, 625 e 6561.

Ao observar os números com três divisores verifiquei que esses números eram os quadrados de 2,3,5,7,11,... ou seja dos números com apenas dois divisores (os números primos). Isto acontece porque estes números têm como divisores o 1, eles próprios e a sua raíz quadrada.

Ao observar os números com cinco divisores encontrei o 16 e o 81. Ora estes números são, respectivamente, 4*4 e 9*9, ou seja, são os quadrados dos quadrados dos números primos. Para verificar se isto aconteceria noutro número experimentei o número 625 (5*5) tendo este número também cinco divisores. Estes números têm como divisores a unidade, eles próprios, a sua raíz quadrada, a raíz quadrada da sua raíz quadrada e o número pelo qual é necessário multiplicar a raíz quadrada da sua raíz quadrada de modo a que o produto seja esse número (que possui cinco divisores).

Após isto tive curiosidade de saber quantos divisores teriam os quadrados dos números com cinco divisores. Cheguei à conclusão de que estes números possuem nove divisores.

Relativamente aos números com quatro divisores pensei que fossem os números multiplos de três excepto o três e os quadrados. No entanto o 45 é um multiplo de três e tem seis divisores. Pensei ainda que seriam os quadrados dos números não primos mas nenhum deles tinha quatro divisores. Após isto observei o número seis e pensei que este número era 2*3 e observei que estes números eram números primos e ao multiplicar o número primo dois por outros números primos encontrei sempre números com quatro divisores. Ao multiplicar dois números primos quaisquer diferentes encontrei também números com quatro divisores. Então concluí que o produto de dois números primos é um número com quatro divisores. No entanto existem números com quatro divisores que não são o produto de dois números primos . É o caso do número 8. Ao pensar neste número reparei que este é 2 ao cubo. Ao experimentar quanto era o cubo dos números até 6 e quantos divisores estes tinham verifiquei que eram só os números primos ao cubo que possuiam quatro divisores.

Ao observar o que acontecia ao multiplicarmos dois números primos quis saber o que acontecia se multiplicasse três números primos desde que estes não fossem todos iguais. Verifiquei que o produto desta operação eram números com seis divisores. Ao multiplicarmos quatro números primos que não sejam todos iguais encontramos um número com oito divisores. Os números com dez divisores são produtos de cinco números primos. Conclui então que para descobrirmos quantos divisores têm os números que são produtos de números primos basta multiplicarmos por dois o número de números primos utilizados na multiplicação cujo produto é esse número.

Descobri ainda que os quadrados dos números com seis divisores têm quinze divisores.

Os números com um número impar de divisores são os quadrados de outros números pois têm a sua raíz quadrada como um "divisor duplo". Os outros números possuem um número par de divisores.

2ª Parte

Aqui tento apresentar novas conclusões a que cheguei.

Os números com três divisores têm como divisores o 1, eles próprios e a sua raíz quadrada. Assim o 4=2^2 tem como divisores o 1, o 2 e o 4 ora 2=2^1 e qualquer número elevado a zero é 1 logo podemos dizer que os divisores de 4 são 2^0, 2^1 e 2^2. O mesmo acontece com o 9 sendo os seus divisores 3^0, 3^1, 3^2. Logo os divisores de uma potência são as potências com a mesma base e com um expoente inferior ou igual ao da potência correspondente a esse número, pertencendo tanto a base como os expoentes aos números naturais podendo o expoente também ser igual a zero. Assim um número com cinco divisores terá como divisores n^0, n^1, n^2, n^3, n^4. A base é um número primo. Assim o número 16 tem como divisores 2^0, 2^1, 2^2, 2^3 e 2^4.O número 81 não é divísivel pelo número primo 2 mas sim pelo número 3 logo os seus divisores são 3^0, 3^1, 3^2, 3^3 e 3^4. Ora sendo (2^4)^2=2^8 este tem nove divisores: 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7, 2^8.

O produto de dois números primos diferentes é um número com quatro divisores pois este número é divísivel por 1, pelos dois números primos, de cuja multiplicação resulta, e pelo produto dessa mesma multiplicação, ou seja, por ele próprio. Também os números primos elevados ao cubo têm quatro divisores pois têm como divisores n^0, n^1, n^2 e n^3.

Tenho ainda correcções a fazer. No meu trabalho ao referir que os números com seis divisores eram o produto de três números diferentes não referi que dois deles têm de ser iguais. Isto acontece pois só assim um número (por exemplo o 12) terá seis divisores (2^0, 2^1, 2^2, 3, 3*2 e 2^2*3=12). Se multiplicarmos três números primos diferentes o resultado é um número com oito divisores, pois, por exemplo o 30=2*3*5, tem por divisores o 1, 2, 3, 5, 2*3, 2*5, 3*5 e 2*3*5.

Ao multiplicarmos quatro números primos o produto só é um número com oito divisores se só um for diferente dos restantes (por exemplo 24=2^3*3 tem como divisores 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 3, 2*3, 2^2*3 e 2^3*3. Ao multiplicar os quadrados de dois números primos obtem-se os números que anteriormente já tinha visto como quadrados dos números com cinco divisores. Isto acontece porque, por exemplo, 10*10=2*5*2*5. Se multiplicarmos o quadrado de um número primo por dois outros números diferentes o resultado é um número com doze divisores pois, por exemplo, o número 60 tem como divisores 2^0, 2^1, 2^2, 3, 5, 2*3, 2*5, 3*5, 2^2*3, 2^2*5, 2*3*5, 2^2*3*5. Se multiplicarmos quatro números primos diferentes obtemos um número com dezasseis divisores, como por exemplo 210 que tem por divisores o 1, 2, 3, 5, 7, 2*3, 2*5, 2*7, 3*5, 3*7, 5*7, 2*3*5, 2*3*7, 2*5*7, 3*5*7, 2*3*5*7.

O produto da multiplicação de cinco números primos só tem dez divisores se for o produto da multiplicação de um número primo elevado à quarta por um outro número primo diferente. É o caso do 48 que tem como divisores 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 3, 2*3, 2^2*3, 2^3*3 e 2^4*3. Se multiplicarmos o cubo de um número primo pelo quadrado de outro número primo obtemos um número com doze divisores, pois, por exemplo, o 72 tem como divisores 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 3^1, 3^2, 2*3, 2*3^2, 2^2*3, 2^2*3^2, 2^3*3 e 2~3*3^2. Se multiplicarmos o cubo de um número primo por dois outros números primos diferentes obtemos um número com dezasseis divisores (120=2^3*3*5 tem como divisores 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 3, 5, 3*5, 2*3, 2*5, 2*3*5, 2^2*3, 2^2*5, 2^2*3*5, 2^3*3, 2^3*5, 2^3*3*5). Se multiplicarmos o quadrado de um número primo por três outros números primos diferentes como por exemplo 2*2*3*5*7 o resultado é um número com vinte e quatro divisores, pois tem os seguintes divisores: 2^0, 2^1, 2^2, 3, 5, 7, 3*5, 3*7, 5*7, 2*3, 2*5, 2*7, 2*3*5, 2*3*7, 2*5*7, 2*3*5*7, 2^2*3, 2^2*5, 2^2*7, 2^2*3*5, 2~2*3*7, 2^2*5*7 e 2^2*3*5*7. Se multiplicarmos dois quadrados de dois números primos diferentes por um outro número diferente o resultado é um número com dezoito divisores (por exemplo 2*2*3*3*5 tem por divisores 2^0, 2^1, 2^2, 3^1, 3^2, 5, 2*3, 2*3^2, 2*5, 2*3*5, 2*3^2*5,2^2*3, 2^2*3^2, 2^2*5, 2^2*3*5, 2^2*3^2*5, 3*5 e 3^2*5). Por fim se multiplicarmos cinco números diferentes então o resultado é um número com trinta e dois divisores, como por exemplo 2*3*5*7*11, sendo os seus divisores 1, 2, 3, 5, 7, 11, 2*3, 2*5, 2*7, 2*11, 2*3*5, 2*3*7, 2*3*11, 2*5*7, 2*5*11, 2*7*11, 2*3*5*7, 2*3*5*11, 2*3*7*11, 2*5*7*11, 2*3*5*7*11, 3*5, 3*7, 3*11, 3*5*7, 3*5*11, 3*7*11, 3*5*7*11, 5*7, 5*11, 5*7*11 e 7*11.

Apreciámos muito o teu trabalho pois ele revela que tens capacidade para enfrentar problemas e organizar as experiências necessárias de modo a construir uma "teoria". Os nossos parabéns também pelo facto de teres trabalhado num período após o término das aulas e sozinha, o que é difícil neste tipo de actividade, pois é uma grande ajuda trocar ideias com outros e/ou com o professor.

Na primeira parte salientamos que expressaste (de uma forma clara) um processo que te levou a formular conjecturas que refutaste (com contra-exemplos) ou procuraste justificar.

Na segunda parte do trabalho tiveste uma boa ideia ao agrupar num quadro o estudo dos divisores de potências de números primos. No entanto as justificações que dás são menos gerais que na primeira parte, pois são feitas à custa de exemplos. Ficamos intrigados porque não generalizaste os resultados a que chegaste e pensamos que se continuares vais descobrir outras relações .

Em concreto, na primeira parte escreveste "Concluí então que para descobrirmos quantos divisores têm os números que são produtos de números primos basta multiplicarmos por dois o número de números primos utilizados na multiplicação cujo produto é esse número". Na segunda parte mostras que verificaste que esta e outras conjecturas que fizeste não são válidas, pelo que julgamos que estás em condições de a reformular e generalizar o resultado.

Esperamos a tua participação nos próximos desafios que vamos propôr.

A equipa do Investiga e Partilha