Números em escada

É a 1ª vez que participo no "Investiga e Partilha". Para o problema "escadas", isto foi o que descobri.

O resultado de uma escada com número par de elementos é par quando há número par de números impares, e é impar quando há número impar de números pares.

O resultado de uma escada com número impar de elementos é par quando o escada tem 1 ou 1 + 4 ou seu múltiplo e começa por um número par, ou quando o número de elementos é 3 ou 3 + 4 ou seu múltiplo e quando a escada começa por um número impar. Para escadas com resultado impar, o contrário verifica-se.

Numa escada que começa no número 1, o resultado é sempre um triângulo perfeito .

Nenhuma potência de 2 pode ser representada em escada (ex: 1, 2, 4, 8, 16…)

Numa escada que comece em 1, o 1º ou a soma dos dois primeiros dígitos é múltiplo de 1, a soma dos 3 ou 4 primeiros dígitos é múltiplo de 2, etc…

Quando a escada começa em 1 e acaba num número impar, o resultado da soma da escada é múltiplo do último número.

O resultado de uma escada que comece em 1 é igual a M (M+1)/2, onde M é o número de elementos da escada.

Parabéns pelo teu trabalho Guilherme!

As tuas descobertas que foram bastante surpreendentes. Muitas delas dizem respeito a aspectos que não eram questionados na proposta, o que mostra que tens um espírito verdadeiramente investigativo!

A tua primeira conclusão está correcta. Fizeste um bom trabalho não só ao descobri-la mas também ao formulá-la.

Em seguida, procuraste analisar o que acontece quando um número em escada "tem um número ímpar de elementos", mas aí não conseguimos perceber o teu raciocínio. Isso leva-nos a lembrar-te da sugestão que fazemos sempre: procura descrever como raciocinaste para chegar às conclusões, eventualmente incluindo alguns exemplos.

Achámos muito interessante a tua conclusão sobre números triangulares, que perspicácia! Também o caso em que o último elemento é um ímpar está muito bem visto.

A fórmula que encontraste para escrever o resultado de uma escada que comece em 1 está também correcta. Mais tarde (só no ensino secundário) poderás estudar como ela se obtém e se aplica a outros casos.

Muitos parabéns pelo teu trabalho. Esperamos poder contar novamente com a tua participação!

A equipa do I&P