Números em escada

No início da minha investigação sobre os números em escada, tentei descobrir uma maneira mais fácil de calcular, e investigar estes números. Assim, como os números em escada são a soma de números naturais consecutivos, quando estes mesmos números são apenas dois, podem ser representados pela seguinte expressão, sendo x, o número mais baixo de ambos, e sendo e, o número em escada:

x+(x+1)=2x+1

2x+1=e

Seguindo o mesmo raciocínio, cheguei às seguintes expressões, continuando x a ser o número mais baixo de todos os numeros consecutivos.

Então, para três numeros consecutivos

x+(x+1)+(x+2) = 3x+3

3x+3=e

e, para quatro números consecutivos

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=4x+6

4x+6=e

Utilizando estas expressões, foi-me fácil construir as seguintes tabelas, para poder tirar conclusões. Por exemplo, se eu quisesse saber a soma dos três números consecutivos 345, 346, e347, bastava-me utilizar a expressão para os três números consecutivos, que é 3x+3=e, e substituir x pelo número mais baixo dos três, que é 345, e dava-me o número em escada que é a soma dos três números que referi atrás:

3*345+3=1035+3=1038

Então, para dois números consecutivos, e utilizando a respectiva equação, que é 2x+1=e, construí a seguinte tabela, continuando x, e e representando o mesmo que vêm representando até agora:

Após a observação da tabela, podemos verificar que todos os números em escada que são a soma de dois números consecutivos (a vermelho), seguindo sempre a mesma sequência, são sempre de dois em dois números, e são todos os números ímpares positivos, com a excepção do número 1.

Fazendo nova tabela, agora para três números consecutivos, e utilisando a sua expressão, que, como já expliquei atrás, é 3x+3=e , fica:

Verifica-se que todos os números em escada que são a soma de três números consecutivos, são todos de três em três unidades, seguindo a mesma sequência, e são todos os números positivos divisíveis por três, com a excepção do número 3.

Finalmente, a tabela para quatro números consecutivos, utilizando, logicamente a expressão 4x+6=e, fica:

Verifica-se finalmente, que todos os números em escada que são a soma de quatro números consecutivos, são sempre de quatro em quatro unidades, mas, apesar de não serem divisíveis por quatro, posso caracterizar estes números como sendo o resultado da soma de duas unidades aos números positivos divisíveis por quatro, excepto uma soma de duas unidades ao número quatro, porque, entre estes números não existe o número 6.

Para descobrir quais são os números em escada que só aparecem uma vez, ou se existem números em escada que nunca aparecem, comecei por construir uma tabela maior para tirar conclusões:

NOTA: Nesta tabela, para tirar melhores conclusões, incluí o número 0, e os números negativos (inteiros), como o menor dos números consecutivos.

Depois de observar minuciosamente a tabela, e considerando que os números em escada pudessem ser a soma de números inteiros (e não apenas naturais), tirei as seguintes conclusões:

• Não existiriam números inteiros que não fossem em escada, pois, como se pode verificar nos números a azul, existiria uma sequência entre eles:

Os negativos {…-6,-5,-4,-3,-2,-1}

Os positivos {1,2,3,4,5,6…}

• O número 0 (a amarelo) também seria em escada

NOTA:Claro que existem números que não são em escada (os números fraccionários, irracionais, etc) mas eu estou a apenas considerar os números inteiros, porque a soma de quaisquer destes números dá sempre um número inteiro.

Depois, para tirar as conclusões finais, considerei apenas a parte cinzenta da tabela (em que o número consecutivo mais baixo, é sempre natural), e verifiquei que poderiam haver números que não fossem em escada , porque só existia a sequência que mencionei acima, quando o menor dos números consecutivos era negativo, ou zero.

Verifiquei que os números em escada são sempre números naturais (porque a soma de quaisquer destes números dá sempre um número natural), e que só existem números em escada a partir do número 3.

Através de uma tabela mais extensa, mas igual à representada acima (que não incluí nesta investigação precisamente por ser demasiado grande) , verifiquei que além de faltarem os números(naturais) 1 e 2, também faltavam os números 4, 8, 16 e 32. Não procurei mais números que faltassem, pois não me foi difícil estabelecer uma relação entre os anteriores:

São sempre o dobro do anterior:

1*2=2
2*2=4
4*2=8
8*2=16
16*2=32

Então, se eu quisesse saber o próximo número que não é em escada, bastava-me multiplicar 32 por 2, que me dava 64, que é um número que não é em escada.

RESUMINDO: Se os números em escada fossem a soma de números inteiros consecutivos, não existiriam números (inteiros) que não fossem em escada, mas como são a soma de números naturais consecutivos, faltam os números (naturais) que mencionei acima.

• Quando são a soma de dois números consecutivos, distam duas unidades do próximo, quando são a soma de três números consecutivos, distam três unidades, etc. Pode ser obtida a explicação para este facto observando as fórmulas que escrevi no início: quando é a da soma de dois números consecutivos, o número que está a multiplicar por x (o número consecutivo mais baixo) é 2, quando é a da soma de três números consecutivos, o número que está a multiplicar por x é 3, e assim sucessivamente, e o número que se soma a esses produto é sempre o mesmo, por isso as diferenças não se alteram.

• Observando a última tabela, pode verificar-se que o número 0 aparece sempre nas colunas dos números em escada que são o resultado da soma de números ímpares, o que faz com que, através da curiosidade anterior, se explique o facto de esses mesmos números serem sempre divisíveis pela quantidade de números consecutivos que se somam: por exemplo, a coluna dos números que são o resultado da soma de 5 números consecutivos só tem números divisíveis por 5.

Parabéns Joana!

Gostámos muito de receber o teu primeiro trabalho. E que trabalho!

Há muitos aspectos interessantes a realçar, mas o primeiro é que evidencias um espírito de verdadeira investigadora: a forma organizada como procuraste dados e os representaste, a explicação do teu raciocínio, a formulação de conjecturas, a procura de justificações, o prolongamento da investigação para outro tipo de números, todos esses são aspectos muito importantes no desenvolvimento de uma investigação.

As tuas conjecturas estão todas correctas. Mostras uma grande facilidade na utilização de expressões algébricas, o que é visível na maneira como as explicas e na forma como recorres a elas para justificares algumas das tuas conjecturas (por exemplo, a primeira das tuas curiosidades). Aliás, este último passo da justificação é algo muito importante na investigação, mas nem sempre fácil, por isso os nossos parabéns.

Um reparo que te fazemos é relativo ao uso de termos adequados. Por exemplo, quando afirmas que "são todos números positivos divisíveis por 3" isso é verdade, mas isso significa simplesmente que são os múltiplos de 3! O mesmo se passa com os números divisíveis por 4. Também, os números 2, 4, 8, 16, ... são obtidos, como dizes, dobrando sempre o anterior, mas, mais do que isso, são as potências de 2.

Finalmente, acabamos por referir que achámos interessante teres analisado o que se passa se considerarmos também números negativos e as conclusões que daí tiraste.

Contamos com futuras participações!

A equipa do I&P