Manuel Vasco Pinto – 11º ano

Escola S/3 Dr. Joaquim Gomes Ferreira Alves
Valadares

Sequências

Para iniciar a minha investigação, decidi fazer algumas experiências para observar os resultados. Considerei, aleatoriamente, alguns números aos quais apliquei a fórmula do enunciado: se o número for par, divide-se por dois; se, por outro lado, é ímpar, adiciona-se onze.

Para esta exposição não se tornar demasiado extensa optei por não incluir as experiências. Aliás, não são mais do que a mera aplicação da fórmula dada.

A primeira conclusão que retirei da observação foi que qualquer que seja o número de que se parta chega-se sempre a uma repetição de uma sequência.

Nos casos em que se parte de 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99 entre outros números a sequência vai decorrer de acordo com a fórmula até que chegue a 22. Independentemente do número de que se tenha partido, no ponto em que uma qualquer
sequência assuma (pela primeira vez) o valor 22, a restante vai alternar entre 11 e 22,
infinitamente. Isto devido à aplicação da fórmula dada.

Em todos os outros casos, a sequência vai repetir-se de 15 em 15 números. Ou seja, os números que, na sequência, ocupem as posições 16, 31, 46, 61, 76, 91, 106, ... , vão
ser os pontos determinantes na repetição da sequência. A primeira destas posições a assumir um valor igual a 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 14; 16; 18 ou 20 será o início da sequência. Sequência esta que se desenrolará, a partir desse ponto, da mesma forma como se o ponto de partida tivesse sido um desses valores (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 14; 16; 18 ou 20). Posto isto as sequências que se iniciam com estes últimos valores são bastante importantes. Todas as outras (tirando as excepções salvaguardadas
inicialmente) vão ser iguais a um dos casos modelo (isto é, os que se iniciam com 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 14; 16; 18 ou 20).

São estas as conclusões a que cheguei após um estudo de várias situações, partindo de
diferentes números. Nesta exposição ficam as minhas conclusões que abrangem todos os casos possíveis.

 Manuel, ficámos satisfeitos por te ver novamente a participar no Investiga e Partilha!

A tua resposta mostra que conseguiste chegar a várias conclusões relativas às sequências de números obtidas da maneira proposta, no entanto, ela teria ficado enriquecida se tivesses acompanhado as conclusões com alguns exemplos mais significativos que te permitiram chegar a elas.

Nesta tua investigação verificámos que todas as descobertas que fizeste se referem a sequências que têm como ponto de partida números inteiros positivos. O que acontecerá se começares com números negativos?

Quando dizes: " Nos casos em que se parte de 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99 entre outros números a sequência vai decorrer de acordo com a fórmula até que chegue a 22." poderias apresentar uma conclusão mais geral referindo que é válida para os múltiplos de 11.

Esperamos que continues a participar nos próximos desafios que vamos propor.

A equipa do I&P