Cadeias de Números

Achei esta actividade muito interessante, sobretudo porque nos fala da magia da matemática e, principalmente, dos números. Fez-me recordar a construção do triângulo de Pascal.

Directos ao assunto...

Segui a vossa 1ª sugestão e verifiquei que a penúltima linha é formada por uns.

Como me sugerem experimentei com outras cadeias de 4 números. Eis o que conclui:

Quando na 1ª sequência os dois últimos números são consecutivos e por ordem decrescente, então, a penúltima linha é formada por dois. Ex.:

Se forem números consecutivos por ordem crescente têm a penúltima fila formada por uns.

Ainda encontrei mais uma curiosidade. Quando, numa cadeia de quatro, o 1º e último algarismos são iguais e quando os algarismos são todos pares ou todos ímpares a penúltima linha é de dois.

Relativamente à sugestão 3 o que conclui foi o seguinte:

Cadeias com 3 algarismos, independentemente de ter números consecutivos ou não, não se chega à fila de uns, dois, três quatro... A única coisa a referir é o facto de quando chegamos à fila 1 0 1, 3 3 0ou 4 4 0..., as filas são repetidas até ao infinito. Ex.:

Com cadeias de 5 números é parecido. Depois de algumas filas feitas encontramos combinações de uns ou dois. Em todos os casos as combinações são parecidas. Ex.:

A vossa última sugestão foi, para mim, a mais difícil de resolver. Mas não é por isso que desisto. Por conseguinte tirei algumas conclusões:

Tentei com cadeias de dois:

Dá sempre 0 0.

Tentei com seis, mas não deu nada de 0 0 0 0 0.

Tentei com oito e deu:

4 9 5 7 2 8 3 6

..................................................................................

0 0 0 0 0 0 0 0

Tentei, tentei, mas não cheguei a nenhuma conclusão.

Caro Mário Jorge,

Parabéns pela tua participação no Investiga e Partilha deste trimestre!

Em primeiro lugar, queremos dizer-te que, mais importante do que a correcção das tuas respostas, é a qualidade da tua investigação. No caso da resposta que nos enviaste, tiveste muitas ideias para procurar regularidades que até não eram sugeridas por nós, o que corresponde ao espírito da verdadeira investigação! Nós próprios tivemos de voltar a explorar a situação e analisar cuidadosamente as tuas conjecturas, o que até não foi nada fácil!

Contudo, tivemos alguma pena em verificar que existem contra-exemplos para a maioria das conjecturas por ti formuladas:

- Quando na 1ª sequência os dois últimos números são consecutivos e por ordem decrescente, então, a penúltima linha é formada por dois. Experimenta com a cadeia que começa com 2 4 6 5.

- Se forem números consecutivos por ordem crescente têm a penúltima fila formada por uns. Experimenta com a cadeia que começa com 2 4 5 6.

- Quando, numa cadeia de quatro, o 1º e último algarismos são iguais e quando os algarismos são todos pares ou todos ímpares a penúltima linha é de dois. Experimenta com a cadeia que começa com 3 1 9 3.

Apesar destas conclusões não estarem correctas, não deves desanimar! O importante agora é aprender com esta experiência: Devemos sempre testar as nossas conjecturas com vários casos, quanto mais melhor. Mesmo assim, só quando conseguimos encontrar uma justificação matemática para a nossa conjectura, é que podemos ter a certeza de que a nossa afirmação é verdadeira.

Quanto às tuas restantes conclusões elas estão correctas. Repara apenas que, no caso das cadeias de 5 algarismos, podemos não só encontrar combinações parecidas como iguais, tal como acontece com as cadeias de 3 algarismos.

Quanto àquelas que dão zeros, encontraste as que começam com 2, 4 e 8 algarismos. Não te parece que há algo comum a estes números?

Esperamos continuar a ser desafiados pelas tuas investigações!

A equipa do I&P