Escola Secundária Alves Redol
Vila Franca de Xira

Sequências

Se pensarmos num número qualquer maior que 0 e aplicarmos isso, há uma parte que quando o resultado é 1 vai-se repetir um ciclo. Esse ciclo vai ser sempre igual. Por exemplo:

Nº7, é ímpar, 7+11=18, 18 é par,18/2=9, 9 é impar, 9+11=20, 20/2=10, 10/2=5, 5+11=16, 16/2=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1
a partir desta parte vai-se repetir o mesmo ciclo
1+11=12, 12/2=6, 6/2=3, 3+11=14, 14/2=7, 7+11=18, 18/2=9, 9+11=20, 20/2=10, 10/2=5, 5+11=16, 16/2=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1
este ciclo vai-se sempre repetir.

Se começarmos com outro nº até chegar a 1 é diferente mas quando chega a 1 vai ser o mesmo ciclo outra vez.
Esse nº tem que ser maior que 0. Não pode ser 0 porque 0 não é par nem ímpar. E não pode ser negativo porque nem todos os números dão. Por exemplo:
-33 é impar, -33+11=-22, -22 é par, -22/2=-11, -11 é impar, -11+11=0, 0 não é par nem ímpar por isso não dá.

Além disso, se em vez de somarmos 11 ao um nº ímpar somarmos 1 também dá. Por exemplo:
Nº 7, 7 é ímpar, 7+1=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1 e volta-se a repetir 1 é impar, 1+1=2, 2/2=1 outra vez um.
Outro exemplo:
19, 19+1=20, 20/2=10, 10/2=5, 5+1=6, 6/2=3, 3+1=4, 4/2=2, 2/2=1 e volta-se a repetir.

A conclusão é que esse número se vai transformando em outros números que se os
formos sempre a dividir por 2 dão 1.
O 16 se formos sempre a dividir por 2 dá 1.
O 10 não, dividimos por 2 dá cinco, acrescentamos 11, transforma-o em 16 e assim já dá.
Isto vai fazer certas transformações ao nº até ele dividindo por 2 dar um.

João, fizeste muito bem em participar nesta investigação!

Ficámos satisfeitos com o trabalho que realizaste pois ele permitiu-te fazer algumas descobertas relativas às sequências propostas na tarefa. Achámos interessante teres observado que "se em vez de somarmos 11 a um nº ímpar somarmos 1 também dá", pois mostra que te preocupaste em descobrir outro número que adicionado aos números ímpares iria produzir uma sequência que chega novamente a 1. Além disso, também foi bom teres pensado no que aconteceria se o ponto de partida da sequência fosse zero ou um número negativo.

Se estás com dúvidas se o zero é par ou ímpar, porque não pões esta questão no "PERGUNTA AGORA" do Forúm Pedro Nunes da APM (www.apm.pt)?

No exemplo que dás do número 7 reparaste que o ciclo se fechou quando voltaste a encontrar o 7 (antes de surgir o 1)?

Relativamente à conclusão final que apresentas - "esse número se vai transformando em outros números que se os formos sempre a dividir por 2 dão 1" - será que se verifica sempre?

Continua a participar nos futuros desafios que vamos colocar na rede

A equipa do I&P