CADEIAS DE NÚMEROS

7 9 5 2
   2 4 3 5
      2 1 2 3
         1 1 1 1
             0 0 0 0

Cada elemento é a diferença positiva dos algarismos da linha anterior que se situam por cima, à excepção do último elemento da linha que é a diferença positiva entre o último e o primeiro elementos da linha anterior.

Esta cadeia acaba quando todos os elementos da penúltima linha forem iguais e consequentemente a última linha, ser uma linha de zeros.

1. Verificamos que a dada altura vamos obtendo uma linha de zeros.
2. Vejamos alguns exemplos:

• Nestes exemplos que apresentamos verificamos que todos eles também terminam com uma linha de zeros.

• Podemos observar ainda, que os elementos da linha anterior à linha de zeros são todos iguais a um número natural qualquer.

 

3. Inicialmente com três algarismos:

Não adianta continuar, pois a certa altura as cadeias repetem sempre a mesma sequência de linhas.

Se inicialmente tivermos três algarismos verificamos que as cadeias não têm fim. Só obtemos uma linha de zeros, se no início da cadeia tivermos uma linha de números (naturais) todos iguais.

4. Inicialmente com cinco algarismos:

3 7 4 9 2
4 3 5 7 1
1 2 2 6 3
1 0 4 3 2
1 4 1 1 1

---

3 3 0 0 0
0 3 0 0 3
3 3 0 3 3
0 3 3 0 0
3 0 3 0 0
3 3 3 0 3
0 0 3 3 0
0 3 0 3 0
3 3 3 3 0
0 0 0 3 3
0 0 3 0 3
0 3 3 3 0
3 0 0 3 0
3 0 3 3 3
3 3 0 0 0

2 3 5 4 1
1 2 1 3 1
1 1 2 2 0
0 1 0 2 1
1 1 2 1 1
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 1 0 0

---

0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
0 0 0 1 1

0 0 1 1 0

Acontece o mesmo que no caso de três algarismos, isto é, as cadeias não têm fim e só obtemos uma linha de zeros se no início da cadeia tivermos uma linha de números (naturais) todos iguais.

 

4. Inicialmente com seis algarismos:

7 4 3 2 8 1
3 1 1 6 7 6
2 0 5 1 1 3
2 5 4 0 2 1
3 1 4 2 1 1
2 3 2 1 0 2
1 1 1 1 2 0
0 0 0 1 2 1

0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1

 

 

5. Inicialmente com oito algarismos:

7 5 2 3 4 6 1 8
2 3 1 1 2 5 7 1
1 2 0 1 3 2 6 1
1 2 1 2 1 4 5 0
1 1 1 1 3 1 5 1
0 0 0 2 2 4 4 0
0 0 2 0 2 0 4 0
0 2 2 2 2 4 4 0
2 0 0 0 2 0 4 0
2 0 0 2 2 4 4 2
2 0 2 0 2 0 2 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0

Tendo em conta a resposta à segunda e terceira perguntas pensei da seguinte maneira.

"Uma vez que haja no início quatro algarismos, sendo 4 um número par, a cadeia acaba com uma linha de zeros. Se no início houver com três ou com cinco algarismos, sendo estes números ímpares, a cadeia não tem fim, então só talvez com números pares é que a cadeia poderá chegar ao fim."

Por isso tentamos uma cadeia que inicialmente tem seis algarismos, e reparamos que esta não tinha fim.

Assim, decidimos experimentar uma cadeia que inicialmente começasse por 8, 12 e 16 algarismos, isto é, são múltiplos de quatro e uma vez que com quatro algarismos no início a cadeia teve fim.

Foi deste modo que experimentamos as outras cadeias e todas elas terminaram com uma linha de zeros.

Portanto é de prever o seguinte:

• Se no início, tivermos uma sequência de 4, 8, 12, 16, ... isto é, múltiplos de quatro, então a cadeia termina com uma linha de zeros;
• Caso contrário a cadeia não tem fim.