Ás voltas com potências.

1ª Parte

Após algum tempo de investigação foi-me possível tirar algumas conclusões.

-A regularidade mantém-se para os cubos de números naturais e não só também, se verifica em outras potências.

-Para se saber qual o número (ímpar) em que se deve começar a contar e em qual se deve terminar a contagem existe uma fórmula que resulta para qualquer potência e para qualquer número:

Esta fórmula indica-nos para qualquer número (X) elevado a qualquer potência (Y) qual o número (impar) em que devemos começar a soma (só de números impares)

Para saber em que número se deve parar de somar pode-se utilizar a fórmula :

Que nos indica o mais elevado número ímpar da soma que se deve efectuar para se obter o valor da potência X^Y.

Assim os números a somar para se obter o valor de uma potência são todos os números ímpares entre os que depois de efectuar as operações acima descritas se obtiveram.

2ª Parte

Verifiquei mais tarde que havia um erro erro na primeira parte do meu trabalho.

As fórmulas nele contidas não se verificam para qualquer potência mas apenas para os números ao quadrado.

No entanto, existem outras fórmulas que se aplicam a qualquer potência, e nos permitem:

-Saber qual o número (ímpar) em que se deve começar a somar e em qual se deve terminar a soma para se obter o valor da potência:

Esta fórmula indica-nos para qualquer número (X) elevado a qualquer potência (Y) qual o número impar em que devemos iniciar a soma (só de números impares)

Para saber qual o último número (maior) da soma pode utilizar-se a fórmula :

Assim os números a somar para se obter o valor de uma potência são todos os números ímpares entre os que depois de efectuar as operações acima descritas se obtiveram.

 João Cardosa

Ficámos muito satisfeitos por recebermos a tua resposta à actividade de investigação "À volta das potências", mas não te podes esquecer que, numa tarefa deste tipo, é necessário explicitares os raciocínios que fizeste e os caminhos que seguiste para obteres as conclusões a que chegaste. A propósito disto relê o que está escrito nas páginas do Investiga&Partilha acerca de actividades de investigação.

Consideramos muito interessantes as fórmulas que nos enviaste, mas será que são válidas para potências de expoentes par? Além disso, como convencerias alguém que as tuas fórmulas são válidas para qualquer potência?

Foi também muito positivo o facto de teres reformulado a resposta apresentada inicialmente.

Continua a tua investigação "à volta das potências" e tenta, por exemplo, encontrar uma explicação para o facto de "os números a somar para se obter o valor de uma potência são todos os números ímpares entre os que depois de efectuar as operações acima descritas se obtiveram". No 11º ano estudarás temas que te poderão ajudar a demonstrar as relações que obtiveste.

Esperamos a tua participação nos próximos desafios.

A equipa do I&P