Ás voltas com potências.

Quando elevamos qualquer número ao cubo, o resultado é sempre igual à soma de vários números ímpares consecutivos. O número da soma de números ímpares é igual ao valor elevado ao cubo. Por ex.: Se o número 4 é elevado ao cubo, o resultado equivale à soma de quatro números ímpares consecutivos, 13, 15, 17 e 19. Como é que eu sei que são estes os 4 números impares que eu tenho de somar ?

Eu sei que são o 13, 15, 17 e 19 porque o cubo do número 3 equivale à soma do 7, 9, e 11, e assim sucessivamente. Sendo assim apenas sabemos quais os números impares que devemos somar só quando soubemos os do número anterior. Eu tentei procurar uma forma de saber qual a sucessão de números impares que devo somar para qualquer número elevado ao cubo que me seja dado.

Para qualquer número que me seja dado eu elevo-o inicialmente ao quadrado. Se o numero for par vou-lhe somando e subtraindo consecutivamente números impares ordenados (1, 3, 5, etc.). Se o número for ímpar faço-lhe o mesmo mas com números pares (2, 4, 6, etc.). Cada vez que subtraio, por ex., 1 obrigatoriamente somo 1.

Exemplo:

- números pares:

• 2³. Eleva-se ao quadrado: 4. Como 2 é um número par, ao valor 4 vai-se somar e subtrair 1. (4+1) e (4-1). Considerando que cada valor entre parêntesis equivale a um número, por regra, no número 2 apenas vai existir a soma de 2 números. 2³ = (2²+1) + (2²-1) = (4+1) + (4-1) = 8.
• 4³. Eleva-se ao quadrado: 16. Como 4 é um número par, ao valor 16 vai-se somar e subtrair 1. (16+1) e (16-1). Considerando que cada valor entre parêntesis equivale um número, no número 4 vai existir uma soma de quatro números. Como (16+1) e (16-1) são apenas 2 números vamos fazer (16+3) e (16-3). 4³ = (16+1) + (16-1) + (16+3) + (16-3) = 64.
• E assim repete-se para todos os números pares.

- números ímpares:

• No caso dos números impares faz-se o mesmo mas somando e subtraindo números pares, e um dos números é o próprio valor elevado ao quadrado porque é impar.
• 3³. Eleva-se ao quadrado: 9. Como 3 é um número par, ao valor 9 vai-se somar e subtrair 2. (9+2) e (9-2). Apenas se encontram dois números, mas com a soma do próprio número ao quadrado ficam 3 números.

3³ = (9+2) + (9-2) + 9 =27

Seguindo este raciocínio, para qualquer número ao cubo que seja dado, eu consigo saber a sequência de números impares que tenho de somar.

 Pedro Miguel Domingues

A tua resposta à actividade de investigação pareceu-nos bastante interessante. Preocupaste-te em explicar o raciocínio que desenvolveste - o que fizeste com clareza. Apenas uma questão: Quando dizes "o número da soma de números ímpares é igual ao valor elevado ao cubo" pensamos que deverias dizer "o número de parcelas é a base da potência".

A forma como conduziste a tua investigação foi quase perfeita. Trabalhaste com cubos de números, todavia se tivesses usado potências com outros expoentes que concluirias?

Poder-se-á garantir que aquele raciocínio é válido para qualquer potência?

Gostaríamos de ver futuramente outras respostas tuas aos desafios que vamos propôr.

Força Pedro!

A equipa do I&P