Problemas: segunda série

01. É conhecido o teorema de Napoleão:

  • Os centros dos triângulos equiláteros construídos exteriormente sobre os lados de um triângulo qualquer formam um triângulo equilátero.

Demonstre este teorema utilizando composições de isometrias.

Sugestões:

• designe por R, S e T as rotações de 120 graus em torno dos pontos O1, O2 e O3.

• considere a isometria produto T o S o R e o efeito da sua aplicação ao ponto A; deduza daí de que isometria se trata;

• pense agora no produto S o R; de que isometria se trata e que relação tem com a rotação T?

• o teorema fica então quase demonstrado (sugestão: decomponha cada uma das rotações R e S num produto de reflexões: R nas reflexões de eixos recta O2O1 e f (recta que se obtém rodando a recta O1O2 de (-60 graus) e S nas reflexões de eixos e (recta que se obtém rodando a recta O2O1 de 60 graus) e recta O2O1) ; verifique depois quais são as reflexões em que fica decomposta a rotação S o R; tente concluir a partir daqui, tomando em consideração o que já sabe da relação entre S o R e T.) 1

02. Seja T uma translação. Para designar a composição (ou produto) T o T usa-se a notação T2 . Do mesmo modo podemos escrever T3, ... Tn com significados óbvios. E mesmo Ti, com i inteiro, positivo ou negativo. O que significará T0 ?

a) Seja R uma reflexão de eixo perpendicular ao vector da translação T. Que isometrias são os produtos de R com todas as translações Ti, com i inteiro. Esses produtos são comutativos? Utilize o Sketchpad para explorar esta questão.

b) Questões análogas substituindo a reflexão R por uma meia-volta MV.

03. Dois espelhos, concorrentes, formam um ângulo a inferior ou igual a 90 graus. Um raio de luz, incidente num dos espelhos, e reflectido sucessivamente nos dois espelhos, acaba por se afastar dos espelhos na mesma direcção em que incidiu. Qual é o valor de a?

Referências

01 e 03. Yaglom, vol. I (ver bibliografia)