Problemas: primeira série

01. Dadas duas circunferências c₁ e c₂ e um ponto M, pretende-se encontrar pares de pontos A e B, A em c₁ e B em c₂, tais que M seja o ponto médio do segmento AB. Discutir a solução.¹

02. Dadas duas circunferências c₁ e c₂ e um segmento AB, encontrar dois pontos C e D (C em c₁ e D em c₂) de tal modo que ABCD seja um paralelogramo. Discutir a solução.²

03. A Clementina plantou uma roseira (ponto B) afastada de sua casa (ponto A). Tanto A como B estão do mesmo lado, mas não à mesma distância, de uma ribeira rectilínea que passa ao pé. Todas as manhãs a Clementina pega no regador, vai á ribeira buscar àgua e depois á roseira regá-la. A que ponto de ribeira se deve dirigir para andar o menos possível no trajecto casa-ribeira-roseira?

04. Duas cidades A e B estão separadas por um rio. Pretende-se construir uma ponte MN sobre o rio de modo a tornar mínimo o trajecto entre as duas cidades. Onde deve ser construída a ponte? (fig. 2). E se fossem 2 rios...?

05. Um jogador de bilhar tradicional pretende dar uma tacada na bola branca, de modo que a bola bata nas três tabelas indicadas na figura e vá bater depois na bola vermelha. Em que posição deve ficar o primeiro ponto onde a bola bate (ponto X)? (fig. 1)

07. Dado um quadrado, encontrar um triângulo equilátero tal que cada um dos seus vértices esteja sobre um dos lados do quadrado. Quantas soluções?

08. Dadas duas rectas r e s, encontrar o lugar geométrico dos ponto P tais que a soma das distâncias às duas rectas seja igual a um comprimento dado a. Mesmo problema substituindo soma por diferença.⁴

Referências

1, 2, 3. Petersen, Julius. Problèmes de constructions géométriques. Paris: Éditions Jacques Gabay, 1990.

4. Yaglom, vol. I (ver bibliografia)