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Simpósio 3 - Álgebra e Pensamento Algébrico

ÁLGEBRA E PENSAMENTO ALGÉBRICO

Manuel Joaquim Saraiva, Universidade da Beira Interior

Neusa Branco, Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Santarém e Unidade de Investigação do Instituto de Educação, Universidade de Lisboa

Considerações gerais

A Álgebra consiste em generalizar ideias da Aritmética onde valores desconhecidos e as variáveis podem ser encontrados para resolver problemas (Taylor-Cox, 2003). Para Mason, Graham e Wilder (2005) a Álgebra fornece uma linguagem simbólica dentro da qual se expressam generalidades conjeturadas, onde o poder da linguagem simbólica está na capacitação para a manipulação daqueles símbolos. Kaput (2008), à generalização e aos símbolos algébricos, acrescenta o aspeto do raciocínio. Para ele, na Álgebra há dois aspetos centrais a considerar: i) a generalização simbólica de regularidades; e ii) o raciocínio e as ações sintaticamente guiadas sobre generalizações expressas em sistemas de símbolos.

Drouhard (2009), por sua vez, afirma que a invenção da linguagem simbólica da Álgebra influenciou o desenvolvimento da Matemática em todos os domínios. Para este autor, os resultados da Álgebra vêm de uma evolução histórica com as seguintes características: primeiro é uma arte, depois uma ciência de resolução de problemas numéricos; primeiro é um sistema de representação informal, depois de registos formais (sistemas de representação semiótica); primeiro é uma ciência de números, depois uma de estruturas. Aquele autor afirma ainda que a linguagem algébrica deve ser descrita em termos linguísticos (sintaxe; semântica). Quanto à semântica, o poder da Álgebra está na capacidade de, judiciosamente, “esquecer o significado”. Claro que, sob o ponto de vista educacional, é importante registar que os alunos devem ao mesmo tempo ter mestria nas linguagens (natural e simbólica), na respetiva sintaxe e semântica e nos aspetos semióticos destas linguagens e serem flexíveis.

Diversos autores, como Carraher e Schliemann (2007), defendem que a separação entre Aritmética e Álgebra, que muitas vezes se verifica nos primeiros anos de escolaridade, não potencia o pensar sobre a Matemática e pode tornar mais difícil a posterior aprendizagem da Álgebra. Estes autores defendem uma perspetiva de early algebra que fomenta “uma visão mais integrada e desafiadora sobre o currículo da Matemática dos primeiros anos, especialmente no que diz respeito à natureza e finalidade do ensino da Aritmética” (p. 670). Sugerem, assim, que se fomente o pensamento algébrico desde cedo.

O pensamento algébrico inclui a capacidade de lidar com o cálculo algébrico, as funções, as estruturas matemáticas e o seu uso na interpretação e resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios, bem como com a manipulação de símbolos e o seu uso na descrição de situações e na resolução de problemas (Ponte, 2005). A perspetiva da Álgebra escolar desde os primeiros anos, salientada por Ponte, Branco e Matos (2009) não se foca exclusivamente no simbolismo formal e na manipulação algébrica. Estes autores destacam a generalização e na sua representação em diferentes situações como as relações, regularidades, variação e modelação.

De acordo com as orientações curriculares nacionais, a Álgebra é um tema essencial do currículo da Matemática escolar e surge como um tema matemático fundamental a partir dos anos intermédios do ensino básico. Nos primeiros anos é promovido o pensamento algébrico dos alunos em articulação com outros temas matemáticos. O pensamento algébrico, em particular o reconhecimento e a articulação da generalidade, e para Mason, Graham e Wilder (2005), está ao alcance de todos os alunos e é essencial para eles, caso queiram participar completamente na sociedade. Os alunos precisam de tempo e de muitas experiências de expressar generalidades para que fiquem seguros de que estão a apreciar generalidades implícitas em técnicas e em conceitos, mais do que apenas tentar reproduzir essas técnicas. Ensinar de forma enfática algoritmos e procedimentos de cálculo sem que os alunos apreendam o significado das operações não se revela vantajoso para a aprendizagem da Álgebra. Tal ensino, segundo Rojano (2002), conduzirá os alunos a uma mecanização sem compreensão, o que provocará fracos desempenhos e uma atitude de rejeição à Matemática.

A investigação tem mostrado que muitos alunos com um bom desempenho na aprendizagem dos números e das operações têm, mais tarde, grandes dificuldades na aprendizagem da Álgebra (Usiskin, 1988). Para este autor, uma das razões destas dificuldades está nas subtilezas e nas mudanças de significado dos símbolos quando nos deslocamos da Aritmética para a Álgebra, ou, como afirma Schoenfeld (2005), uma das dificuldades relaciona-se com a compreensão simbólica das expressões numéricas e algébricas e as suas conexões. Assim, um aluno treinado apenas para responder a questões algorítmicas tem dificuldade em trabalhar com questões que exijam uma compreensão concetual ou que envolvam uma combinação de representações. Neste sentido, Andrade e Saraiva (2012) afirmam que a coordenação que os alunos fazem entre os vários registos de representação de uma função e de funções diferentes permite-lhes alcançar diversas perspetivas de uma função. A coordenação dos registos de representações semióticas (linguagem natural; algébrico; tabelar e gráfico) permite que os alunos deixem de confundir o objeto matemático função com uma sua representação. Também Vergnaud (1988) afirma que na passagem da Aritmética para a Álgebra, os alunos deparam-se com um grande obstáculo epistemológico, ou seja, reconhecer que as letras podem representar valores e que os símbolos matemáticos podem ter diversos significados.

Formas de pensar essenciais ao pensamento algébrico têm de ser ativadas em diferentes níveis (Harel, 2008), Estruturação, Generalização e Representação. Muitas contribuições mostraram que há etapas prévias no desenvolvimento destas formas de pensar, que deveriam ser cultivadas nos processos de aprendizagem, podendo ajudar a reduzir o “buraco cognitivo” entre a Aritmética e a Álgebra. Radford (2009) demonstrou que o simbolismo alfanumérico não é a única forma de expressar o raciocínio algébrico. Ele afirmou que há uma zona concetual antes, onde o pensamento algébrico é contextual e consubstanciado na corporalidade de ações, gestos, sinais e artefactos.

Os símbolos são parte essencial da Álgebra, pelo que não podem ser esquecidos, nem excluídos. Têm um enorme valor, pois aglutinam as ideias e transformam-nas em informação fácil de entender e de manipular (Sfard & Linchevski, 1994). Porém, o simbolismo pode facilmente conduzir ao formalismo ao perdermos de vista os significados que os símbolos representam e ao só dar atenção à sua manipulação (Davis & Hersh, 1995), prejudicando, assim, o processo de aprendizagem. Torna-se necessário encontrar um caminho para um ensino-aprendizagem da Álgebra que forneça uma entrada acessível e produtiva tanto para a linguagem como para a compreensão matemáticas.

No ensino da Álgebra é, ainda, fundamental integrar a tecnologia (Ponte, Branco & Matos, 2009) e estudar o seu uso com vista à promoção da aprendizagem. Quando é que os alunos a devem utilizar? Deverá se usada para confirmar os resultados já obtidos com métodos tradicionais ou como instrumento de exploração de novas relações?

Tall (1991), ao distinguir dois níveis de Matemática – o elementar e o avançado –, defende que a mudança para um pensamento matemático mais avançado envolve uma transição difícil que é a passagem de uma posição onde os conceitos têm uma base intuitiva, e são fundamentados na experiência, para uma outra posição, onde eles são especificados por definições formais e as suas propriedades reconstruídas através de deduções lógicas. Defende, ainda, que “a mudança do pensamento matemático elementar para o avançado envolve uma transição significativa: do descrever para o definir, do convencer para o provar numa maneira lógica baseada nessas definições” (p. 20) – e que é um problema para os alunos do ensino superior.

A trajetória de aprendizagem dos alunos pode ser fortalecida pela utilização de estratégias baseadas em trabalho exploratório e investigativo, usando situações de aprendizagem realísticas, tecnologias e sistemas de representação apropriados. Nesta trajetória, o professor, paralelamente ao seu papel clássico de expositor de informação e de conhecimentos matemáticos, pode assumir-se como um dinamizador da atividade matemática dos alunos e um sintetizador das validações matemáticas coletivas.

Sobre as comunicações deste Simpósio

As comunicações orais deste Simpósio centram-se essencialmente no ensino e aprendizagem da Álgebra Elementar, nos 1.º e 3.º ciclos do ensino básico, havendo apenas uma que aborda a Álgebra Avançada. Das primeiras, os tópicos de Matemática trabalhados e analisados são as Regularidades e Sequências, incluindo as pictóricas repetitivas e crescentes, as Expressões Algébricas e Funções, as Equações, as Quantidades variáveis e relações entre elas e os sistemas de duas equações do 1º grau. O tema abordado ao nível da Álgebra Avançada é o dos sistemas de equações lineares. A comunicação mural aborda o tema das equações do 1º grau. Seis das comunicações focam-se na aprendizagem, trabalhando com alunos, e quatro no ensino, trabalhando com professores, de forma colaborativa e onde uma delas tem uma perspetiva histórica.

O suporte teórico das comunicações é muito baseado no pensamento algébrico, em particular na early álgebra, nas comunicações relativas aos primeiros anos de escolaridade, confrontado com as orientações do Programa de Matemática. Em três comunicações é estudado de forma explícita o uso das tecnologias (robots, Excel e calculadora gráfica). O conjunto das comunicações aborda também temas como as representações e as dificuldades dos alunos. Nos trabalhos com professores, o foco no trabalho colaborativo visa o conhecimento profissional do professor e a promoção da reflexão e da discussão sobre o ensino e a aprendizagem.

A Metodologia de investigação seguida nos estudos apresentados nas comunicações foi essencialmente qualitativa.

As conclusões fundamentais destes trabalhos vão no sentido de que os contextos de trabalho e as abordagens pedagógicas, incluindo o uso de materiais e das diversas representações dos conceitos, tarefas e tecnologias, são fundamentais para uma melhor aprendizagem dos conceitos algébricos referidos. O trabalho reflexivo e colaborativo dos professores são assinalados como uma promoção do desenvolvimento profissional dos professores de Matemática. A investigação sobre a prática do professor contribui para o aprofundamento do conhecimento sobre o ensino desta temática.

Destes trabalhos resultam algumas questões, que serão indicadas no ponto seguinte.

Questões

Das comunicações existentes neste Simpósio podem formular-se as seguintes questões, às quais gostaríamos de dar alguma resposta durante o SIEM:

1.   Qual é a dificuldade que os alunos revelam na formulação de generalizações numa sequência? Que representações usam os alunos? Que estratégias de raciocínio usam para responder a questões que envolvem generalizações?

2.   Até que ponto uma leitura do gráfico apoiado na função “trace” da calculadora tem semelhanças, ou diferenças, de um ponto de vista de compreensão matemática das funções, relativamente à leitura de uma tabela?

3.   No ensino superior, o que leva a que os alunos tenham mais dificuldades nos aspetos relacionados com a interpretação da situação do que com a resolução do próprio sistema de equações?

4.   Como ultrapassar a dificuldade dos alunos em torno da simbologia algébrica?

5.   A linguagem natural e as representações gráficas, tabelar e simbólica promovem o reconhecimento e a representação das quantidades variáveis e das relações entre elas?

6.   Será possível separar o que é aprendido e o contexto em que houve tal aprendizagem? Que papel para os artefactos materiais?

7.   Como é que os professores partilham e refletem sobre o desenrolar da atividade letiva? Para o professor de Matemática, qual será a necessidade da investigação estar muito ligada à prática letiva? E qual será a importância da reflexão, e das práticas reflexivas, individuais e num grupo colaborativo, enquanto fator de desenvolvimento profissional?

8.   O que leva o professor de Matemática em Portugal a privilegiar as representações algébrica e gráfica e a minimizar a representação tabelar, mesmo tendo em conta as caraterísticas das tecnologias atuais?

9.   Como encarar a relação entre o movimento histórico e lógico dos conceitos algébricos, nomeadamente o das equações, e o objeto de ensino?

Referências

Andrade, J. M. & Saraiva, M. J. (2012). Múltiplas representações: um contributo para a aprendizagem do conceito de função. Revista Latinoamericana de Investigacion en Matemática Educativa, 15(2), 137-169.

Carraher, D., & Schliemann, A. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 669-705). Charlotte, USA: NCTM e IAP.

Davis, P., & Hersh, R. (1995). A experiência matemática. Lisboa: Gradiva.

Drouhard, J. P. (2009). Epistemography and algebra. Proceedings of CERME6, Lyon.

Harel, G. (2008). DNR Perspective on mathematics curriculum and instruction: focus on proving, part I. ZDM, 40, 487–500.

Kaput, J. (2008). What is algebra? What is algebraic reasoning? In J. Kaput, D. Carraher, & M. Blanton (Eds.), Algebra in the Early Grades. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum/Taylor & Francis Group & National Council of Teachers of Mathematics.

Mason, J., Graham, A. & Wilder, S. (2005). Developing thinking in algebra. The Open University.

Ponte, J. P. (2005). Números e álgebra no currículo escolar. In I. Vale et al.(Eds.), Números e álgebra (pp. 5-27). Lisboa: SEM-SPCE.

Ponte, J. P., Branco, N., & Matos, A. (2009). Álgebra no ensino básico. Lisboa: ME-DGIDC.

Radford, L. (2009). Why do gestures matter? Sensuous cognition and the palpability of mathematical meanings. Educational Studies in Mathematics, 70(3), 111 - 126.

Rojano, T. (2002). Mathematics learning in the junior secondary school: Students’ access to significant mathematical ideas. In L. English et al. (Eds.), Handbook of international research in mathematics education (pp. 143-161). Mahwah, NJ: Erlbaum.

Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gains and piftalls of reification: The case of algebra. Educational Studies in Mathematics, 26, 191-228.

Schoenfeld, A. (2005). Curriculum development, teaching and assessment. In L. Santos et al. (Eds.), Educação matemática: Caminhos e encruzilhadas (pp. 13-41). Lisboa: APM.

Tall, D. (1992). The transition to advanced mathematical thinking: Functions, limits, infinity and proof. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 495–511). New York.

Taylor-Cox, J. (2003). Algebra in the early years?, Young Children, 14-21.

Usiskin, S. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. In A. F. Coxford & A. P. Schulte (Eds.), The ideas of algebra. Reston, VA: NCTM.

Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. In Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.). Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. pp. 141-161.

PENSAMENTO ALGÉBRICO NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE - UM TRABALHO COLABORATIVO ENTRE PROFESSORES
A APRENDIZAGEM DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS POR UMA ALUNA DISCALCÚLICA
RACIOCÍNIOS DESENVOLVIDOS NA VERIFICAÇÃO DAS SOLUÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
O RECURSO A DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NO ENSINO DAS FUNÇÕES COM O APOIO DA TECNOLOGIA
APRENDER MATEMÁTICA COM ROBOTS: A DANÇA ENTRE A AGÊNCIA MATERIAL E AGÊNCIA CONCEPTUAL
DESENVOLVER O PENSAMENTO ALGÉBRICO A PARTIR DA EXPLORAÇÃO DE SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES
A EXPLORAÇÃO DA VARIAÇÃO DE QUANTIDADES: UM ESTUDO COM ALUNOS DO 4.º ANO DE ESCOLARIDADE
A APRENDIZAGEM DE MÉTODOS FORMAIS NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES - O CASO DE ANA
O MOVIMENTO HISTÓRICO E LÓGICO DOS CONCEITOS ALGÉBRICOS E O OBJETO DE ENSINO DA ÁLGEBRA: O CASO DAS EQUAÇÕES



PENSAMENTO ALGÉBRICO NOS PRIMEIROS ANOS DE ESCOLARIDADE - UM TRABALHO COLABORATIVO ENTRE PROFESSORES

Célia Cascais, Agrupamento de Escolas da Ericeira e Instituto de Educação da Universidade de Lisboa

Resumo

O estudo que se apresenta tem como objetivo descrever e analisar o trabalho de colaboração realizado por um grupo de professores do 2.º ano de escolaridade para desenvolver o pensamento algébrico dos seus alunos, no quadro do tópico Regularidades/sequências. A investigação segue uma abordagem qualitativa, dentro do paradigma interpretativo. Os resultados mostram que a implementação do Programa de Matemática (ME, 2007), se por um lado causa angústias e incertezas, por outro pode ser promotor de práticas profissionais de sucesso. Evidencia-se ainda a necessidade da investigação estar ligada à prática letiva, a mudança de práticas ser ancorada no conhecimento científico e, finalmente, a reflexão em sala de aula enquanto momento de aprendizagem dos alunos e a reflexão dos professores enquanto fator de desenvolvimento profissional.

Palavras-chave: pensamento algébrico, sequências, colaboração.




A APRENDIZAGEM DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS POR UMA ALUNA DISCALCÚLICA

Corália Pimenta, Instituto Educativo de Lordemão

Manuel Joaquim Saraiva, Departamento Matemática, UBI 

Resumo

As dificuldades que os alunos manifestam na aprendizagem e utilização dos conceitos de Matemática devem ser um motivo de preocupação e de justificação para um maior investimento no ensino e aprendizagem daquela disciplina, pois tais dificuldades poderão condicionar o futuro dos alunos. Reeducar jovens com dificuldades de aprendizagem em Matemática poderá ajudar a resolver alguns dos problemas da sociedade atual, face às inúmeras capacidades que os alunos poderão desenvolver com a aprendizagem e utilização da Matemática.

Esta comunicação identifica as dificuldades de uma aluna do 7.º ano de escolaridade, discalcúlica, evidenciadas durante a construção e manipulação de expressões algébricas, no contexto da aprendizagem das funções,  e indica algumas das vantagens que podem ser aquiridas por quem usufrui de uma intervenção educativa atempada e adequada a esta especificidade. A comunicação apoia-se numa investigação recente que visava identificar e compreender as dificuldades de uma aluna do 7.º ano de escolaridade, discalcúlica, na aprendizagem de conceitos específicos das funções. Pretendia, ainda, identificar as vantagens que a aluna poderia ter ao usufruir de uma intervenção educativa atempada e adequada à sua especificidade. Nesse estudo utilizou-se uma metodologia qualitativa de cunho descritivo e interpretativo. Os resultados indicam que a aluna evoluiu na aprendizagem das expressões algébricas, tendo também alterado a sua atitude para com a aprendizagem da Matemática.   

Palavras-chave: Discalculia, Aprendizagem das expressões algébricas.




RACIOCÍNIOS DESENVOLVIDOS NA VERIFICAÇÃO DAS SOLUÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Paula Maria Barros, ESTiG - Instituto Politécnico de Bragança

José António Fernandes, CIEd - Universidade do Minho

Cláudia Mendes Araújo, Centro de Matemática da Universidade do Minho

Resumo

Numa investigação sobre o ensino e aprendizagem de álgebra Linear, em que um dos objetivos era identificar os erros e dificuldades sentidos pelos estudantes, propuseram-se algumas questões sobre sistemas de equações lineares a estudantes de engenharia do ensino superior politécnico que frequentavam a unidade curricular álgebra linear e geometria analítica. Neste texto, faz-se uma breve exposição dos resultados obtidos numa das questões em que se pretendia a verificação da solução de um sistema de equações lineares. Concluiu-se que, embora o tema tenha sido estudado no ensino básico/secundário e superior, os estudantes demonstraram ainda dificuldades consideráveis na resolução da tarefa proposta, evidenciando-se, também, o facto de muitos dos que responderam corretamente terem necessidade de resolver o sistema para verificar a solução.

Palavras-chave: Sistemas de equações lineares, ensino superior, erros e dificuldades.




O RECURSO A DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NO ENSINO DAS FUNÇÕES COM O APOIO DA TECNOLOGIA

Helena Rocha, Bolseira da FCT – MEC, UIDEF – IEUL

Resumo

A tecnologia é geralmente apontada como uma via para o fácil acesso a diferentes representações, potenciando a sua articulação e integração. Neste artigo apresento alguns resultados de um estudo sobre a integração da calculadora gráfica no ensino das funções, focando especificamente a integração das diferentes representações disponibilizadas pela máquina. Neste sentido procuro caraterizar o equilíbrio que duas professoras do ensino secundário estabelecem entre as diferentes representações, a articulação que fazem destas e o aproveitamento que fazem das potencialidades da tecnologia a este nível. As conclusões alcançadas apontam para uma tendência destas professoras para privilegiar as representações algébrica e gráfica; para uma articulação mais rígida entre as diferentes representações, no caso de uma das professoras, e mais flexível e dinâmica, no caso da outra professora; e para uma aparente relação do adiamento do trabalho em torno da representação tabular com as caraterísticas da tecnologia.

Palavras-chave: diferentes representações, calculadora gráfica, ensino das funções.




APRENDER MATEMÁTICA COM ROBOTS: A DANÇA ENTRE A AGÊNCIA MATERIAL E AGÊNCIA CONCEPTUAL

Elsa Fernandes, Universidade da Madeira e Grupo de Investigação Educação, Tecnologia e Sociedade, IE UL

Resumo

Neste artigo pretendemos discutir o papel e impacto dos robots na aprendizagem da matemática. Analisando a participação dos alunos nas aulas de matemática, quando usam os robots, discutimos a sua capacidade de agir (agência) e o papel da mesma na aprendizagem da matemática.

Palavras-chave: Aprendizagem, Agência Material, Robots.




DESENVOLVER O PENSAMENTO ALGÉBRICO A PARTIR DA EXPLORAÇÃO DE SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES

Ana Morais, Agrupamento de Escolas da Ericeira

Resumo

Este estudo insere-se numa experiência de ensino no 2.º ano de escolaridade, cujo objetivo é promover o pensamento algébrico a partir do desenvolvimento das capacidades de representação e de generalização no trabalho com sequências pictóricas repetitivas e crescentes. Nesta comunicação analiso as representações e estratégias dos alunos bem como as suas dificuldades na exploração das tarefas apresentadas. A metodologia seguida é qualitativa e interpretativa. Para a recolha de dados é usada observação participante na sala de aula, com registos de notas de campo, registo áudio e vídeo e análise documental. Os resultados da aprendizagem mostram que os alunos compreendem a representação em sequência e, desde que apoiados, conseguem associá-la explicitamente à sequência dos números naturais. Os alunos utilizam diversas representações e conseguem formular generalizações usando diferentes estratégias. No entanto, alguns deles revelam dificuldade, nomeadamente, na formulação de generalizações relativas a termos distantes.

Palavras-chave: Pensamento algébrico, Sequências, Representações, Estratégias e Dificuldades.




A EXPLORAÇÃO DA VARIAÇÃO DE QUANTIDADES: UM ESTUDO COM ALUNOS DO 4.º ANO DE ESCOLARIDADE

Célia Mestre, Agrupamento de Escolas Romeu Correia, Almada e Unidade de Investigação do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa

Hélia Oliveira, Instituto de Educação da Universidade de Lisboa

Resumo

Nesta comunicação apresenta-se um estudo inserido numa investigação mais ampla de implementação de uma experiência de ensino em que se pretende desenvolver o pensamento algébrico de alunos de uma turma do 4.º ano de escolaridade. O objetivo particular desta comunicação é analisar a forma como os alunos reconhecem e representam quantidades variáveis e descrevem as relações entre elas. A recolha de dados incide sobre a realização de uma tarefa em aula, tendo sido usados para análise as fichas de trabalho dos alunos e os momentos de discussão coletiva. Conclui-se que os alunos conseguiram reconhecer e representar as quantidades variáveis e as relações entre elas usando a linguagem natural e outras representações como gráficos, tabelas e linguagem simbólica.

Palavras-chave: Pensamento algébrico, variação de quantidades, representação




A APRENDIZAGEM DE MÉTODOS FORMAIS NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES - O CASO DE ANA

Sandra Nobre, Escola Básica 2,3 Professor Paula Nogueira e Unidade de Investigação do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, Bolseira da FCT

Nélia Amado, FCT - Universidade do Algarve e Unidade de Investigação do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa

João Pedro da Ponte, Instituto de Educação, Universidade de Lisboa

Resumo

Neste artigo abordamos a aprendizagem de métodos formais algébricos na resolução de sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas. Este estudo está integrado numa experiência de ensino mais ampla com alunos do 9.º ano em tópicos de Álgebra. A metodologia é qualitativa de carater interpretativo com recurso a estudos de caso. Nesta comunicação debruçamo-nos sobre o caso de Ana, procurando compreender como desenvolveu o seu pensamento algébrico durante o estudo deste tópico, dando especial atenção ao modo como progrediu na aprendizagem de métodos formais algébricos e em que situações recorre a este tipo de procedimento. Verificamos que Ana desenvolveu o seu pensamento algébrico de uma forma gradual. Inicialmente as suas produções eram baseadas essencialmente em métodos informais, sustentadas por estratégias aritméticas, que progrediram progressivamente para métodos mais formais apoiados pela linguagem algébrica. No final do estudo do tópico, para a resolução das situações propostas, a aluna recorre a métodos formais – principalmente ao método de substituição – usando menos outros métodos também trabalhados na experiência de ensino.

Palavras-chave: Álgebra, sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas, pensamento algébrico, métodos formais, folha de cálculo.




O MOVIMENTO HISTÓRICO E LÓGICO DOS CONCEITOS ALGÉBRICOS E O OBJETO DE ENSINO DA ÁLGEBRA: O CASO DAS EQUAÇÕES

Maria Lucia Panossian, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo - Brasil

Manoel Oriosvaldo de Moura, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo - Brasil

Resumo

Sendo impossível abarcar no ensino escolar a experiência humana historicamente acumulada, é necessário reconhecer critérios para determinar o objeto de ensino. Neste sentido se desenvolve a pesquisa de doutorado com objetivo de explicitar as relações entre o movimento histórico e lógico dos conceitos algébricos e o objeto de ensino da álgebra. Assume-se teoricamente que o movimento lógico e histórico dos conceitos, a partir da lógica dialética, revela a essência dos fenómenos pela via do pensamento teórico. Exemplifica-se a análise relativa ao ensino da álgebra, com o estudo das equações. A síntese do movimento histórico e lógico do conceito algébrico de equação, em suas diferentes etapas (retórica, sincopada, geométrica, simbólica) que geram diferentes formas de pensamento e de linguagem é relacionada ao que é apresentado das equações como objeto de ensino. Historicamente, as equações deixam de ser métodos que resolvem problemas particulares sobre encontrar um valor desconhecido para serem estudadas como métodos gerais para resolução de problemas, objeto de estudo da ciência matemática. A análise de programas curriculares do Estado de São Paulo (Brasil) e as discussões com professores revelam que, as equações, como objeto de ensino são apresentadas por seus aspectos técnicos, seus métodos de resolução. Reconhece-se o descompasso entre as equações como instrumento matemático fruto da experiência humana e como objeto de ensino destituído de sentido e significado para o estudante.

Palavras-chave: movimento histórico e lógico; conceitos; álgebra.







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