O problema nº 52 foi o seguinte:
Há muitos anos, o pirata Barba-Ruiva resolveu enterrar o seu tesouro. Escolheu uma ilha onde a única praia tinha duas grandes rochas junto à água, a 100 metros uma da outra, e uma enorme palmeira entre as rochas mas a 80 metros da linha de água. Mandou um dos piratas do seu bando para cada uma das rochas e deu-lhes as seguintes instruções: olhar em direcção à palmeira, rodar 90° e andar uma distância igual à distância a que a sua rocha estava da palmeira. Nenhum dos piratas se molhou. Os dois piratas ficaram parados e Barba-Ruiva enterrou o tesouro exactamente a meio de caminho entre eles.
Por acaso , encontrámos o documento onde isto estava descrito e resolvemos ir até à ilha à procura do tesouro. Lá encontrámos as rochas junto à água mas infelizmente a palmeira tinha desaparecido, provavelmente derrubada por um furacão.
Como a praia agora é um destino turístico conhecido, não podemos andar a escavar por todo o lado. A única hipótese é aproveitar uma noite antes de amanhecer e fazer apenas um buraco. Onde devemos escavar para termos boas hipóteses de descobrir o tesouro?
Este problema foi inicialmente proposto por Thomas Shilgalis na revista Mathematics Teacher de Fevereiro de 1998, e gostei muito dele. Chegaram várias respostas: Alberto Canelas (Queluz), Ana Luísa Correia (Lisboa), António Amaral (Lamego), Célia Lobo & Mário Roque (Guimarães), Ernesto Vitorino (Setúbal), Isabel Moreira (Vila do Conde), João António Sá (Parede), Paulo Correia (Portimão) e Vidal Minga (Carcavelos).
É difícil resistir à utilização do GSP começam por afirmar a Célia e o Mário. E realmente este é um problema óptimo para ser analisado num programa de geometria dinâmica. Quando fazemos a construção geométrica da situação do problema no Sketchpad ou no Cabri, verificamos imediatamente aquilo de que a Ana Luísa desconfiou:
Quando li este problema pareceu-me que a posição da palmeira (...) era irrelevante.
Quase todas as resoluções enviadas usaram um dos programas anteriores e a figura que se obtém é do tipo que se mostra, em que P é a posição arbitrária da palmeira, A e B são as posições das rochas (a 100 metros uma da outra), A’ e B’ são as posições em que os dois piratas ficaram e T, ponto médio de A’B’, é o local onde o tesouro foi enterrado.

 

Torna-se agora necessário demonstrar que, para qualquer posição de P, o ponto T é invariante.
Há vários métodos possíveis que passam por arranjar um referencial e que podem incluir trigonometria, equações de rectas, ponto médio, etc. A que me parece mais fácil é a seguida tanto pela Isabel Moreira como pelo Paulo Correia.
Consideremos o referencial indicado ne com origem em A. As coordenadas dos pontos iniciais são:
A(0 , 0) B(100 , 0) P(p , q)
Os piratas olham segundo a direcção dos vectores:
AP (p , q) BP (p–100 , q)
Para não molharem os pés, os piratas deslocam-se segundo os vectores perpendiculares aos anteriores “virados” para terra:
AA’ (–q , p) BB’ (q , 100–p)
Depois, os piratas caminham até aos pontos:
A’: (0 , 0) + (–q , p) = (–q , p)
B’: (100 , 0) + (q , 100–p) =
= (q+100 , 100–p)
As coordenadas de T, ponto médio de A’B’, são:

As coordenadas de T, como facilmente se demonstra, são ambas iguais a metade da distância entre as duas rochas. Para encontrar o tesouro, basta partir de uma das rochas, andar 50 metros em direcção à outra e depois outros 50 na perpendicular, de costas para o mar para não molhar os pés (Ana Luísa).
O Alberto Canelas, como é seu hábito, parte para interessantes generalizações:
1) se os piratas molhassem os pés,
2) se um molhasse e outro não,
3) se os piratas rodassem um outro ângulo q diferente de 90.

José Paulo Viana
Esc. Sec. Vergílio Ferreira

 

problema proposto

Toilette Matinal

Todas as manhãs visto umas cuecas, umas calças, uma T-shirt, um par de meias e um par de sapatos.
Por uma questão de higiene, só calço os sapatos depois de ter as calças vestidas.
Quando calço um sapato, calço logo o outro, porque me faz impressão estar só com um sapato.
Claro que tenho muitas maneiras diferentes de me arranjar, tudo depende da ordem com que visto as coisas. Quantas são as maneiras diferentes de me vestir?
(Respostas até 15 de Dezembro)