O problema nº 51 foi o seguinte:
Num jogo participam 2 jogadores, que começam por colocar 12 pinhões em cima da mesa.
Cada jogador, na sua vez, pode tirar 1, 2 ou 3 pinhões.
Um jogador não pode tirar um número igual ao que adversário tirou na última jogada.
Ganha quem tirar o último pinhão ou deixar o adversário sem poder fazer uma jogada válida.
– Quem tem vantagem: o primeiro a jogar ou o segundo?
Desta vez, talvez por ser a análise de um jogo, o problema não entusiasmou os nossos leitores. Chegaram apenas cinco respostas: Ana Luisa Correia (Lisboa), António Amaral (via e-mail), António Ruiz Lozano (Lisboa), João Carlos Vieira (Coimbra), Vidal Minga (Carcavelos).
Como salienta o João Carlos, estamos perante uma variante do jogo de Nim ou de Marienbad. Mas o facto de não se poder repetir a jogada anterior do adversário introduz uma dificuldade na análise. Se assim não fosse, seria fácil: o segundo jogador (chamemos- -lhe B) ganharia sempre. O que ele teria de fazer seria simplesmente tirar o complementar para 4: se A tirasse 1, ele tirava 3; se A tirasse 2, respondia também com 2; e a 3 do A contra-punha 1. Assim, após B jogar a primeira vez, teriam sido retirados 4 pinhões, após a segunda jogada estariam fora 8 pinhões e na sua terceira jogada completaria os 12 pinhões, ganhando. As posições-chave para o jogador B seria fazer com que na mesa ficassem, após a sua jogada, 4 ou 8 pinhões.
Apesar de a regra adicional complicar a situação, a estratégia vencedora não se afasta muito da anterior, tal como mostraram os nossos colegas, embo-ra por vias diferentes: o António Loza-no usou tabelas, a Ana Luisa seguiu pela teoria dos grafos, o António Amaral avançou pelo Visual Basic e o Vidal descreveu a estratégia.
O jogador B, para ganhar, tem de deixar na mesa, depois de jogar, 8 ou 4 pinhões (tal como na versão mais simples do jogo). Se isso não for possível, tira mais um pinhão (ficando na mesa 7 ou 3) e corrige esse excesso na jogada seguinte.
Vejamos, por exemplo, como seria a primeira jogada, em que primeiro está o número de pinhões retirados por A, depois os de B e entre parêntesis os que ficam na mesa:
1 – 3 (ficam 8)
2 – 3 (ficam 7)
3 – 1 (ficam 8)
No caso em que ficam 7, A só pode tirar 1 ou 2 e então B tira 2 ou 1, de modo que, após a segunda jogada, ficam 4 na mesa e B ganha de certeza na jogada seguinte.
No caso em que ficam 8 e se na segunda jogada A tirar 2, B tira 3. Ficam 3 na mesa mas A não os pode tirar todos e portanto B ganha.
Finalmente, se após a segunda jogada e com 4 pinhões na mesa, A tirar 2, B tira 1. Sobra um único pinhão mas A não o pode retirar e portanto perde.
Como diz a Ana Luisa:
Não quero ser o primeiro a jogar. Se for o segundo ganho com probabilidade 1.
José Paulo Viana
ES Vergílio Ferreira, Lisboa
