O problema deste Número

Os bares do Deserto de Soif

O problema da revista nº 49 foi o seguinte:

O deserto de Soif é perfeitamente plano e é atravessado por três estradas em linha recta que se cruzam em pontos diferentes. Existem apenas quatro bares onde os viajantes podem matar a sede e reabastecer os automóveis. Claro que em cada estrada há pelo menos um bar.

Por coincidência, estes quatro bares estão nos vértices de um quadrado perfeito. Quantas soluções existem? Como determiná-las?

A geometria não parece entusiasmar os nossos leitores. Apesar de estarmos perante o prolongamento de um famoso problema de Polya que consistia em inscrever um quadrado num triângulo, apenas nos chegaram seis resoluções: António Amaral (via Internet), António Ruiz Lozano (Lisboa), Heitor Surrador (via Internet), Isabel Silva (Vila do Conde), Luis Vaz Pato (Galizes), Orlando Freitas e Elias Rodrigues (Funchal).

Vamos considerar o caso geral, ou seja, as estradas não formam entre si ângulos especiais.

Se em cada estrada há pelo menos um bar, posso concluir que numa das estradas se situam dois bares e que em cada uma das outras duas fica um outro bar (António Lozano).

Chamemos r, s e t às três estradas. Comecemos por estudar o caso em que a estrada r tem dois bares. Duas situações se podem dar: os dois bares da estrada r são vértices consecutivos do quadrado, ou os

dois bares são vértices opostos.

Os dois bares de r são vértices consecutivos

Marquemos o lado AB de um quadrado qualquer, com Ar e Bs, e completemos o quadrado com os outros vértices C e D no interior do triângulo formado pelas três estradas. Só o vértice C não está numa estrada. Para qualquer quadrado construído desta maneira, o vértice correspondente a C vai ficar na recta PC. Então, basta traçar esta recta e determinar o ponto E de intersecção de PC com a estrada t. Este ponto vai ser precisamente um dos vértices do quadrado procurado. A partir de E constrói-se o quadrado EFHG. Temos assim uma solução do tipo 1, em que os bares ficam em E, F, G e H.

Mas, ao construirmos o quadrado ABCD a partir do lado AB, poderíamos tê-lo feito "para fora" do triângulo. Depois, o processo é semelhante ao anterior: unimos P com C e determinamos a intersecção E com a estrada t. É uma solução de tipo 2, com os bares em E, F, G e H.

 

Os dois bares de r são vértices opostos

Começamos por marcar Ar e traçar uma linha a 45° até encontrar a estrada t no ponto B. Constrói-se depois o quadrado ABCD, em que só o vértice D não está numa estrada. Une-se o ponto Q, intersecção de r e t, com D e prolonga-se até intersectar a estrada s em E. Está encontrado um vértice do quadrado procurado. Basta agora construir o quadrado EFGH. Temos aqui uma solução de tipo 3, com os bares em E, F, G e H.

Conclusão

Há assim 3 soluções com dois bares na estrada r. Poderíamos repetir estas construções partindo de cada uma das outras estradas. Portanto, no caso geral, o total de soluções é de 9.

 

José Paulo Viana

Esc. Sec. Vergílio Ferreira

 

 

Problema proposto

Um jogo para a noite de Natal

 

Participam 2 jogadores, que começam por colocar 12 pinhões em cima da mesa.

Cada jogador, na sua vez, tira 1, 2 ou 3 pinhões.

Um jogador não pode tirar um número igual ao que o adversário tirou na última jogada.

Ganha quem tirar o último pinhão ou deixar o adversário sem poder fazer uma jogada válida.

— Quem tem vantagem: o primeiro a jogar ou o segundo?