A proposta de trabalho apresentada está incluída na brochura do 10º ano sobre Funções (p. 88) e, tal como é referido no artigo desta revista Avaliando investigações – contributos para a discussão, foi proposta a alunos do 10º ano, no 2º período do ano lectivo 1997/98. Apresentamos agora alguns comentários sobre a tarefa.

Designando por x a medida de qualquer dos lados iguais e por y a medida da base, o principal objectivo da situação apresentada é a dedução da expressão da área do triângulo em função de x

e, usando a calculadora gráfica, a descoberta das dimensões do triân-gulo de perímetro 50 que tem área máxima.

Dado o tipo de função envolvida, é um problema de optimização que, no 10º ano, só tem sentido ser resolvido com recurso à calculadora gráfica.

Do trabalho realizado com os alunos parace-nos importante salientar alguns pontos críticos da resolução da tarefa.

Os intervalos de variação dos lados do triângulo

Embora os alunos definam com facilidade a medida da base em função da medida de qualquer dos lados iguais, y = 50 — 2x, ao representá-la graficamente (fig.1) são tentados a concluir que x varia no intervalo ]0 , 25[ e que y varia entre 0 e 50, esquecendo-se da desigualdade triangular, ou seja, que qualquer dos lados tem que ser menor que a soma dos outros dois.

Há que conjugar a condição representada com a condição y < 2x. Obtém-se:

Assim vamos ter 12,5 < x < 25

e 0 < y < 25. Aliás o intervalo ]12,5 ; 25[ é precisamente o domínio da função área.

Esta discussão pode ser feita num plano puramente geométrico, fazendo uma aproximação aos "casos limite" (ver figuras seguintes).

Discussão da solução

Parece-nos importante que haja uma interpretação geométrica da solução obtida na alculadora.

A área é máxima (Å 120,3) para x Å 16,7. Isto significa que o triângulo de perímetro 50 com área máxima é um triângulo equilátero. É de fazer notar que dividindo o perímetro por 3 obtém-se o valor da calculadora, = 16,(6).

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