O problema deste Número

Sobre as respostas ao problema anterior Da Europa à América, e volta

O problema do número anterior da revista foi este:

Devido aos ventos constantes que sopram de Oeste, a viagem de avião da Europa até à América demora mais tempo do que em sentido contrário.

A Air Sky tem dois aviões iguais e faz carreira entre dois aeroportos, um em cada continente. Certo dia da semana, os aviões partem cada um de seu lado do Atlântico exactamente no mesmo instante. Quando se cruzam sobre o mar estão a 2700 quilómetros de um dos aeroportos. Chegados ao outro lado, fazem uma paragem de 2 horas para reabastecimento e regressam aos respectivos pontos de origem. Quando se voltam a cruzar estão a 3200 quilómetros do mesmo aeroporto considerado anteriormente.

Qual é a distância entre os dois aeroportos?

Chegaram 6 respostas: António Amaral (Lamego), António Ruiz Lozano (Lisboa), Francisco Estorninho & Alice Bárrios (Lisboa), Heitor Surrador (Aveiro), João Paulo Afonso (Mafra) e Teresa & Luis Vaz Pato (Galizes). O que mais nos agradou foi ver como o problema foi resolvido por tão diferentes métodos. Mas demos a palavra ao Heitor:

"Este é um daqueles problemas que parecem difíceis e que por vezes o são mesmo se os tentarmos resolver pelos métodos tradicionais. Mas, se nos abstrairmos das técnicas habituais e conseguirmos ter uma reacção a que Martin Gardner chama "Ah Ah!", alcançamos imediatamente a solução."

E segue-se um esquema e um raciocínio que foram também seguidos pelo João Paulo e pela Teresa & Luis:

 

À ida, os aviões encontram-se em P, a 3200 quilómetros do aeroporto americano (o enunciado não o diz, mas se admitíssemos que era do europeu, as conclusões seriam as mesmas).

À volta encontram-se em V.

O tempo que demoraram desde a partida até P tem de ser igual ao tempo que vão demorar desde V até à chegada, visto que as viagens terminam à mesma hora nos aeroportos de destino.

Como os tempos são iguais, as distâncias percorridas pelos aviões que vão contra o vento têm de ser iguais, logo a distância de P a E é igual à distância de A a V, ou seja, 2700 quilómetros. O mesmo se passa para os aviões a favor do vento: AP = VE = 3200.

Logo, a distância entre os aeroportos é 3200 + 2700 = 5900 quilómetros.

O António Amaral é grande adepto do programa Modellus e, é claro, usou-o de uma forma bastante criativa, pondo inclusive os aviões em movimento. E, ao "ver-se" tudo a andar, percebe-se logo qual é a solução.

As resoluções gráficas vieram do António Lozano e do Francisco & Alice.

Veja-se como tudo é claro. Queremos saber a distância de A a E.

A viagem de um avião está representada por AFGA’ e a do outro por ECBE’.

Os segmentos AF e BE’ são paralelos e correspondem, para cada um dos aviões, à velocidade a favor do vento. À viagem contra o vento correspondem os segmentos paralelos EC e GA’.

Os triângulos EPA e E’VA’ são iguais (ângulos iguais e um lado igual).

Como EP é igual a VA’, os triângulos PEF e VA’B são iguais. Logo, as alturas PQ e VD são iguais, e portanto a distância total é 5900.

Repare-se que é absolutamente indiferente o tempo que os dois aviões estiveram parados para reabastecimento.

Por fim, a Teresa e o Luis ainda resolveram o problema analiticamente. Há muitas variáveis e incógnitas, mas também se lá chega.

José Paulo Viana

Esc. Sec. Vergílio Ferreira, Lisboa

 

Problema proposto

Na pista de dança

Outro dia fui a um clube de dança. Estavam lá sete pares a treinar para os próximos campeonatos de tango. Cada um dos dançarinos tinha o seu número nas costas. Números todos diferentes, claro, e que iam de 1 a 14.

Na primeira dança reparei num facto curioso: em cada par, a soma dos dois números era um quadrado perfeito.

Para a segunda dança houve troca de pares e nova coincidência se deu. Todos os pares tinham uma soma que era um número primo. E mais: nos três pares que estavam do lado esquerdo a soma era a mesma, os três que estavam à direita tinham somas iguais, e o par que dançava ao centro tinha uma soma diferente das anteriores.

A Isabel tem o número 1 nas costas.

Quais são os números das outras seis dançarinas?