Inovação no Ensino da Geometria

Texto de apoio

Perspectiva cavaleira

 

Introdução

A quase totalidade das ilustrações dos livros de geometria são feitas em perspectiva cavaleira. É significativo que a perspectiva cavaleira seja a representação utilizada universalmente para apresentar os outros tipos de representação. De resto, trata-se de uma tradição antiga: as figuras dos tratados de Geometria Descritiva e de Perspectiva Linear, de Roubaudy e de Pillet, publicados em 1916 e em 1888, respectivamente, eram traçadas em perspectiva cavaleira.

A origem do nome cavaleira é duvidosa, afirmando uns que provém do nome dado a um tipo de construção alta — o cavalier — que existia em certas fortificações militares do séc. XVI e de onde se tinha sobre a própria fortificação uma visão "do alto" -- que seria semelhante à dada pela perspectiva cavaleira. Outros dizem que o nome está relacionado com o ponto de vista alto de um cavaleiro, e ainda outros que deriva dos trabalhos do matemático italiano Cavalieri.

Nesta breve apresentação deste tipo de representação trataremos dos seguintes pontos:


Definição

A perspectiva cavaleira é uma projecção cilíndrica oblíqua sobre um plano paralelo a uma das faces principais do objecto. A figura obtida por esta projecção não está conforme à visão, mas à inteligência que temos dos objectos representados, e daí a sua aceitação natural.

O desenho em perspectiva cavaleira é um auxiliar essencial na visualização e resolução de problemas de geometria no espaço, tendo em consequência uma grande importância no ensino da geometria, devendo ser aprendido e utilizado pelos alunos como meio principal de representação.

Na figura pode compreender-se como se forma a perspectiva cavaleira de um cubo, representado pelas suas vistas (frente e planta). C" e C', quadrados sombreados a cinzento, são a vista de frente e a planta do cubo.

O plano, de projecção, paralelo a duas faces do cubo, está também representado pelas suas vista de frente e planta. As setas d" e d' são as vistas do vector d que define a direcção da projecção oblíqua de que resulta a perspectiva cavaleira.

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Parâmetros

Na perspectiva cavaleira, o que varia é a direcção da projecção, pois a posição do cubo em relação ao plano de projecção está fixa, dado que o plano de projecção é paralelo a uma das faces do cubo, e adopta-se ainda a convenção de colocar sempre a representação de algumas arestas do cubo (AB, etc.) paralelas ao bordo inferior do desenho. Daqui resulta que um segundo grupo de arestas (AE, etc.) fica paralelo aos bordos laterais da folha de desenho e o terceiro grupo de arestas (BC, etc.) é, no espaço, perpendicular ao plano de projecção. Os parâmetros que definem a perspectiva cavaleira são o ângulo , entre a direcção das arestas do terceiro grupo e a direcção das arestas paralelas ao bordo inferior da folha de desenho, e a redução k, em percentagem, que as arestas deste terceiro grupo, por exemplo FG, têm na representação. Naturalmente, a redução e o ângulo dependem da direcção da projecção. Costuma utilizar-se a notação PC(,k%) para designar uma perspectiva cavaleira com os parâmetros e k.

Na figura seguinte apresentamos três tipos usuais de perspectiva cavaleira.

Da esquerda para a direita, temos respectivamente as perspectivas PC(45°, 50%), PC(30°, 70%) e PC(30°,50%). A escolha entre estas diferentes perspectivas cavaleiras é sobretudo uma questão de gosto, embora se possam ainda acrescentar outro tipo de considerações:

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Traçado em papel quadriculado

Seria bom que o papel quadriculado pudesse servir para desenhar em perspectiva cavaleira um destes casos mais usuais. Infelizmente, tal não é verdade, mas podem obter-se aproximações, como podemos verificar nas figuras seguintes:

 
 

No figura da esquerda, o ângulo é de 45°, mas a redução é de 70%, podendo ainda obter-se 35%. Na figura da direita, o ângulo é de 27°, aproximadamente, e a redução de 56%. Trata-se portanto de uma aproximação razoável do terceiro caso anterior.

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Propriedades

Na perspectiva cavaleira, verificam-se as seguintes propriedades:

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Nota sobre os tipos de projecção

Na projecção central são dados um ponto O e um plano , e a projecção central P' de um ponto P obtém-se pela intersecção da recta OP com o plano .

Na projecção cilíndrica (ou paralela), são dados uma direcção (isto é, uma recta) d e um plano , e a projecção cilíndrica P' de um ponto P obtém-se pela intersecção da paralela a d, passando por P, com o plano .

A projecção cilíndrica diz-se ortogonal se a recta d é perpendicular ao plano , oblíqua nos outros casos.

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Bibliografia

Audibert, Gérard. La Perspective Cavalière. Paris: Association des Profresseurs de Mathématiques de l'Enseignement Publique, 1990.

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