Actividade

A. A stella octangula foi estudada por Pacioli sob o nome de octaedron elevatum. Cem anos mais tarde, foi redescoberta por Kepler, que lhe chamou stella octangula. É formada pela combinação de dois tetraedros regulares, e aparece na natureza sob a forma de dois cristais combinados (cristais gémeos).

Considere o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, representado na figura. O sólido definido pelos vértices A, C, F, H é um tetraedro regular. Porquê? Os restantes quatro vértices do cubo (B, D, E e G) definem outro tetraedro. A combinação destes dois tetraedros forma uma stella octangula.

B. Na figura ao lado está representada a stella octangula obtida a partir do cubo. Um dos tetraedros que a compõem está pintado, o outro é branco. A pirâmide de base IJK e de vértice F, que está contida no tetraedro de cor, é um tetraedro regular. Porquê? Qual é a relação entre o volume deste pequeno tetraedro e o volume do tetraedro de cor? Se considerarmos a intersecção (em termos de conjuntos) dos dois tetraedros grandes (branco e de cor), que tipo de poliedro se obtém?

C. Qual é a medida do ângulo diedro que fazem duas faces adjacentes da stella octangula?

D. Se tomarmos para unidade de volume o volume do tetraedro IJKF, qual é o volume da stella octangula? E do cubo inicial?

E. Construa uma stella octangula, servindo-se da planificação em duas partes que encontra na página seguinte. Procure encontrar planificações completas da stella octangula.

F. Tente reconstruir o cubo de partida, planificando e construindo os sólidos necessários para preencher o espaço existente entre a stella octangula e o cubo.

G. Escolha um referencial cartesiano conveniente e indique as coordenadas dos vértices da stella octangula, e as equações dos planos das faces e das rectas suportes das arestas.