Texto de apoio 04. Demonstração das proposições I.1, I.2 e I.3 Apresentam-se a seguir as demonstrações das primeiras três proposições dos Elemetos de Euclides, traduzidas da versão em inglês de Thomas Heath (ed. da Dover, ver bibliografia em Geometria: temas actuais). Se clicar nos desenhos que acompanham as demonstrações das prop. I.1 e I.2, poderá aceder a um sketch interactivo feito com o auxílio do JavaSketchpad. As demonstrações utilizam os postulados I e II e III, a definição 15 e as noções comuns (ou axiomas) 1 e 3. Para facilidade apresentamos uma tradução (adaptada à linguagem de hoje, para melhor compreensão do seu alcance) desses postulados, definição e noções comuns. Postulado I. (É possível) construir um segmento que una um ponto qualquer com outro ponto qualquer. Postulado II. (É possível) prolongar um segmento, continuamente, numa linha recta. Postulado III. (É possível) descrever uma circunferência com um dado centro e passando por um dado ponto. Definição 15. Um círculo é uma figura plana contida por uma linha tal que todos os segmentos com extremidades nessa linha e num ponto contido na figura são iguais. Este ponto chama-se centro do círculo. Nota. Esta é a tradução mais próxima da de Heath. Para todos os efeitos práticos, nomeadamente a compreensão das demonstrações que se seguem, podemos adoptar a definição habitual de circunferência (conjunto dos pontos que distam igualmente de um ponto) como equivalente a esta muito mais complexa de Euclides. Note-se no entanto que Euclides está a dar a noção de circunferência sem ter introduzido a noção de distância, pelo que recorre à noção de igualdade (ou congruência, como diríamos hoje), sem também no entanto a explicitar. Para todas estas questões relativas à axiomática de Euclides, e para uma axiomática métrica da geometria euclidiana, ver Franco de Oliveira, Geometria Euclidiana, ed. da Universidade Aberta. Noção comum 1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. Noção comum 3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
	Proposição I.1. Construir um triângulo equilátero tendo um dado segmento como lado. Seja AB o segmento dado. O que se pede é a construção de um triângulo equilátero tendo AB como um dos lados. Com centro em A e distância AB descrevamos a circunferência BCD [post. III]; da mesma forma, com centro em B e distância BA descrevamos a circunferência ACE [post. III]; a partir do ponto C, no qual as circunferências se intersectam, tracemos dois segmentos CA e CB até aos pontos A e B [post. I]. Como o ponto A é o centro da circunferência CDB, AC é igual a AB [def. 15]. Da mesma forma, como o ponto B é o centro da circunferência CAE, BC é igual a BA [def. 15]. Mas foi já provado que CA é igual a AB; portanto qualquer dos segmentos CA, CB é igual a AB. E coisas que são iguais a uma terceira são iguais entre si [noção comum 1]; portanto CA é também igual a CB. Portanto os três segmentos CA, AB, e BC são iguais entre si. Portanto o triângulo ABC é equilátero e tem o segmento AB como lado. Q.E.F.
	Proposição I.2. Construir um segmento congruente com um segmento dado e tendo um dado ponto como extremidade. Seja A o ponto dado e BC o segmento dado. É requerido colocar no ponto A, como extremidade, um segmento igual ao segmento BC. Tracemos, do ponto Aao ponto B, o segmento AB [post. I] e tendo AB como lado, construamos o triângulo equilátero DAB [prop. I.1]. Prolonguemos os segmentos DA, DB nas rectas AE e BF. [post. II] e com centro em B e passando por C construamos a circunferência CGH [post. III]. E de novo, com centro D e passando por G, construamos a circunferência GKL [post. III]. Então, como o ponto B é o centro da circunferência CGH, BC é igual a BG [def. 15]. De novo, como o ponto D é o centro da circunferência GKL, DL é igual a DG. Como DA é igual a DB, os restos AL e BG também são iguais [noção comum 3]. Mas também provámos que BC é igual a BG; portanto cada um dos segmentos AL, BC é igual a BG. Portanto AL é igual a BC [noção comum 1]. Portanto foi construido o segmento AL igual ao segmento BC e tendo por extremidade o ponto A. Q.E.F.
	Proposição I.3. Dada uma semirecta AB e um segmento CD, construir um ponto E em AB tal que os segmentos AE e CD sejam congruentes. Construamos, com extremidade em A, o segmento AF congruente com CD [prop. I.2]. Construamos a circunferência com centro em A e passando por F [post. 3]. Seja E o ponto de intersecção da circunferência de centro A e passando por F com a semirecta AB. Como E e F são dois pontos desta circunferência, de centro A, os segmentos AE e AF são congruentes [def. 15]. Mas CD é também congruente com AF. Mas então os segmentos AE e CD são ambos congruentes com AF, logo são congruentes entre si [Noção comum 1]. Q.E.F.

	Página (sempre em construção) da responsabilidade de Eduardo Veloso (veloso@mail.telepac.pt) Ultima revisão: 29 de Setembro de 1998
				Página inicial APM