Inovação no Ensino da Geometria/1998/Textos para discussão/Supl. I

Admitida a fórmula de Euler, V-E+F=2, é possível demonstrar que apenas existem 5 poliedros regulares. Apresentaremos uma demonstração de H. S. M. Coxeter, incluída no seu livro Introduction to Geometry, pp. 153 e 154.

Se num poliedro regular as suas faces são polígonos regulares de p lados, e se em cada vértice se encontram q arestas, é costume designar esse poliedro regular pelo símbolo {p,q}. Temos as seguintes relações entre p, q, V, E e F:

qV=2E=pF

Com efeito, se existem q arestas para cada vértice, o número de arestas assim contado seria qV, mas isto é o dobro das arestas do poliedro, dado que estamos a contar duas vezes cada aresta (pois cada aresta une dois vértices). Logo, qV=2E.Analogamente, como existem p arestas para cada face, o número de arestas assim contado seria pF, mas isto é o dobro das arestas do poliedro, dado que estamos a contar duas vezes cada aresta (pois cada aresta pertence a duas faces). Logo, pF=2E.
Podemos agora deduzir expressões de V, E e F emfunção de p e q:

donde , , . Como estes números devem ser positivos, os possíveis valores de p e q são limitados pela desigualdade ou .
Portanto p-2 e q-2 são dois inteiros positivos cujo produto é menor do que 4, ou seja, p e q podem apenas assumir os valores:
{3,3} -- tetraedro
{4,3} -- cubo
{3,4} -- octaedro
{5,3} -- dodecaedro
{3,5} -- icosaedro.


	Suplemento I. Existem apenas 5 poliedros regulares Admitida a fórmula de Euler, V-E+F=2, é possível demonstrar que apenas existem 5 poliedros regulares. Apresentaremos uma demonstração de H. S. M. Coxeter, incluída no seu livro Introduction to Geometry, pp. 153 e 154. Se num poliedro regular as suas faces são polígonos regulares de p lados, e se em cada vértice se encontram q arestas, é costume designar esse poliedro regular pelo símbolo {p,q}. Temos as seguintes relações entre p, q, V, E e F: qV=2E=pF Com efeito, se existem q arestas para cada vértice, o número de arestas assim contado seria qV, mas isto é o dobro das arestas do poliedro, dado que estamos a contar duas vezes cada aresta (pois cada aresta une dois vértices). Logo, qV=2E.Analogamente, como existem p arestas para cada face, o número de arestas assim contado seria pF, mas isto é o dobro das arestas do poliedro, dado que estamos a contar duas vezes cada aresta (pois cada aresta pertence a duas faces). Logo, pF=2E. Podemos agora deduzir expressões de V, E e F emfunção de p e q: donde , , . Como estes números devem ser positivos, os possíveis valores de p e q são limitados pela desigualdade ou . Portanto p-2 e q-2 são dois inteiros positivos cujo produto é menor do que 4, ou seja, p e q podem apenas assumir os valores: {3,3} -- tetraedro {4,3} -- cubo {3,4} -- octaedro {5,3} -- dodecaedro {3,5} -- icosaedro.


	Página (sempre em construção) da responsabilidade de Eduardo Veloso (veloso@mail.telepac.pt) Ultima revisão: 11 de Outubro de 1998

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Suplemento I. Existem apenas 5 poliedros regulares