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Imre Lakatos, Proofs and refutations:
The logic of mathematical discovery
Como objectivo geral, em cada aula deste curso teremos uma discussão relativamente curta sobre um texto proposto com antecedência. Na primeira parte do curso (provavelmente em todo o curso...) utilizaremos o livro Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery, de Imre Lakatos (1922-1974). Neste livro, Lakatos discute a história longa das tentativas de demonstração da fórmula de Euler através da criação de uma aula imaginária em que um professor tenta fazer essa demonstração e encontra pela frente as objecções de uma turma particularmente atenta e activa... Enquanto no corpo do texto Lakatos recria essas tentativas com o diálogo entre o professor e os alunos, nas notas vai descrevendo a história real . A leitura das notas é portanto tão importante como a do próprio texto.
Os textos parciais com as respectivas notas irão sendo transcritos nesta página à medida que forem sendo propostos para discussão. Serão numerados Texto 1, Texto 2, etc. Poderão ter links para páginas da rede que possam auxiliar ou complementar a leitura do texto. Uma biografia de Lakatos encontra-se aqui.
Índice:
TEXTO 1
1. Um problema e uma conjectura
O seguinte diálogo desenrola-se numa sala de aula imaginária. A turma envolveu-se na discussão de um PROBLEMA: existirá alguma relação entre o número de vértices, V, o número de arestas, A, e o número de faces, F, de um poliedro -nomeadamente de um poliedro regular - análoga à relação trivial entre os números de vértices e de lados de um polígono, em que há especificamente tantos vértices como lados (V=L)? Esta relação possibilita a classificação dos polígonos, segundo o número de lados (ou de vértices), em triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc. Uma relação semelhante ajudaria a classificar os poliedros.
Depois de muitas tentativas e vários erros, reparam que se tem V-A+F=2.(1) Alguém adianta que esta relação é válida, qualquer que seja o poliedro. Outros tentam invalidar esta conjectura, testando-a de várias formas - mantém-se bem. Os resultados corroboram a conjectura e sugerem que pode ser demonstrada. É nesta altura - depois dos estádios relativos ao problema e à conjectura - que entramos na sala.(2) O professor está a começar a apresentar uma demonstração.
2. Uma demonstração
PROFESSOR: Na última aula, chegámos a uma conjectura sobre os poliedros, que consistia em que V-A+F=2, para todos os poliedros, onde "V" representa o número de vértices, "A" o de arestas e "F" o de faces. Experimentámos de várias formas, mas ainda não a demonstrámos. Alguém encontrou uma demonstração?
ALUNO SIGMA: Cá por mim, tenho de admitir que ainda não consegui descortinar uma demonstração particular deste teorema... Como verificámos que era verdade em tantos casos, não podem existir dúvidas que é válida para qualquer sólido. Assim, a afirmação parece estar razoavelmente demonstrada (3), mas se tiver uma demonstração, por favor apresente-a.
PROFESSOR: De facto, tenho uma. Consiste na seguinte experiência mental. Passo 1: Imaginemos que o poliedro é oco, com uma fina superfície de borracha. Se cortarmos uma das faces, podemos esticar a restante superfície, planificando-a no quadro, sem a rasgar. As faces e arestas ficarão deformadas, com estas a ficarem curvas, mas V e A não se alteram, de modo que se, e só se, V-A+F=2 se aplica ao poliedro original, então V-A+F=1 para esta figura plana - lembremo-nos que foi removida uma das faces. (A fig. 1 mostra a figura plana no caso de um cubo.) Passo 2: Vamos agora triangular o nosso mapa - na realidade parece um mapa geográfico. Desenhemos diagonais (possivelmente curvas) nestes polígonos (possivelmente curvilíneos) que ainda não tiverem a forma de triângulos (também possivelmente com lados curvos). Cada diagonal faz aumentar em uma unidade ambos os números A e F, logo, o valor de V-A+F não se altera (fig. 2) Passo 3: A partir da rede assim arranjada, retiramos os triângulos um a um. Para removermos um triângulo, ou tiramos uma aresta - com o desaparecimento simultâneo de uma face (fig. 3a), ou retiramos duas arestas e um vértice, causando o desaparecimento destes e de uma face (fig. 3b). Assim, se V-A+F=1, antes de removermos um triângulo, a igualdade mantém-se depois da remoção do triângulo. No final do processo, ficamos com um único triângulo, continuando a ser verdade, para o triângulo, que V-A+F=1. Logo, demonstrámos a nossa conjectura. (4)
ALUNO DELTA: Deve agora chamar-se um teorema. Já não existe nenhum aspecto conjectural, no que lhe diz respeito.
Notas:
(1) Foi Euler quem primeiro a enunciou [1758a]. O seu problema original residia na classificação dos poliedros, dificuldade que era apontada no sumário editorial: "Enquanto que na geometria plana os polígonos (figurae rectilineae) podiam ser facilmente classificados segundo o número de lados, que é evidentemente sempre igual ao número de ângulos, em estereometria, a classificação dos poliedros (corpora hedris planis inclusa) coloca um problema muito mais difícil, uma vez que o número de faces por si só é insuficiente para este fim."
A chave do resultado de Euler consistiu apenas na invenção dos conceitos de vértice e de aresta: foi ele quem primeiro fez notar que, para além do número de faces, o número de pontos e de linhas na superfície do poliedro vão determinar as suas propriedades (topológicas). É interessante notar que, se por um lado, ele estava ansioso por sublinhar a novidade do seu quadro conceptual, que o levou a introduzir o termo acies (aresta) em lugar do velho latus (lado), uma vez que latus se referia a um conceito poligonal e ele queria um poliédrico, por outro lado conservou o termo angulus solidus (ângulo sólido) para os seus vértices em forma de ponto. No geral, tem sido recentemente aceite que a prioridade do resultado seja atribuída a Descartes. A base desta reivindicação é um manuscrito de Descartes [c. 1639] que foi copiado por Leibniz em Paris, a partir do original, em 1675/6 e que foi redescoberto e publicado por Foucher de Careil em 1860. Esta prioridade não deve ser atribuída a Descartes sem uma pequena clarificação. É verdade que Descartes afirma que o número de ângulos planos é igual a 2F+2V-4, onde F representa o número de faces e V o de ângulos sólidos. É igualmente verdadeiro que ele afirma que o número de ângulos planos é o dobro do número de arestas (latera). A conjunção de ambas as afirmações implica a fórmula de Euler. No entanto, Descartes não viu razões para a exprimir, uma vez que ele ainda raciocinava em termos de ângulos (planos ou sólidos) e faces, não se mostrando adepto de uma mudança consciente e revolucionária dos conceitos de vértices de dimensão nula, arestas de dimensão 1 e faces de dimensão 2, como base necessária e suficiente para a caracterização topológica completa dos poliedros.
(2) Euler testou a conjectura, numa procura alargada de implicações. Verificou-a para prismas, pirâmides e assim por diante. Poderia ter acrescentado que a proposição de existência de apenas cinco poliedros regulares é também uma consequência da conjectura (demonstração). Suspeita-se que outra das consequências é a afirmação corroborada, até agora, de que bastam quatro cores para colorir qualquer mapa.
A fase de conjecturar e testar, no caso de V-A+F=2, encontra-se discutida em Pólya ([1954], vol. 1, nas primeiras cinco secções do terceiro capítulo, pp. 35-41).Pólya fica por aqui, não tratando da fase de demonstrar - apesar de, evidentemente, fazer notar a necessidade de uma heurística de "problemas para demonstrar" ([1945], p. 144). A nossa discussão começa no ponto em que Pólya pára.
(3) Euler [1758a], p. 119 e p. 124). No entanto, posteriormente [1758b] propôs uma demonstração.
(4) A ideia desta demonstração é de Cauchy [1813a].
(5) A opinião de Delta de que esta demonstração estabelecia, sem qualquer dúvida, o "teorema" foi partilhada por muitos matemáticos do século XIX, e. g. Crelle [1826-7],2, pp. 668-71, Matthiessen [1863], p. 449, Jonquières [1890a] e [1890b]. Para citar uma passagem representativa: " Depois da demonstração de Cauchy, tornou-se absolutamente indubitável que a elegante relação V-A+F=2 se aplica a toda a gama de poliedros, tal como Euler afirmou em 1752. Em 1811, todas as dúvidas devem desaparecer." Jonquières [1890a], pp. 111-12.
TEXTO 2
ALUNO ALFA: Deixe-me ver. Compreendo que esta experiência pode ser feita para um cubo ou para um tetraedro, mas como é que posso saber que pode ser feita com qualquer poliedro? Por exemplo, o senhor tem a certeza que qualquer poliedro, depois de termos tirado uma face, pode ser esticado, de modo a se ajustar ao plano do quadro? Tenho alguma dúvida em relação ao seu primeiro passo.
ALUNO BETA: Tem a certeza que, na triangulação da figura, temos sempre uma face nova, para uma qualquer aresta nova? Tenho alguma dúvida em relação ao seu segundo passo.
ALUNO GAMA: Tem a certeza que existem apenas duas possibilidades - o desaparecimento de uma aresta, ou de duas arestas e um vértice- quando eliminamos os triângulos um a um? Tem também a certeza que se chega a um só triângulo, no final deste processo? Tenho algumas dúvidas em relação ao seu terceiro passo.
PROFESSOR: É claro que não tenho a certeza.
ALFA: Mas, então, estamos muito pior agora do que estávamos antes! Em vez de uma conjectura, temos agora pelo menos três! E chama "demonstração" a isto!
PROFESSOR: Admito que a designação tradicional de "demonstração", aplicada a esta ideia-experiência, pode ser considerada algo enganadora. Não acho que estabeleça a verdade da conjectura.
DELTA: Então o que é que faz? O que pensa que uma demonstração matemática demonstra?
PROFESSOR: Essa é uma pergunta subtil, à qual irei tentar responder mais tarde. Até lá, proponho que conservemos a expressão técnica, consagrada pelo uso, "demonstração", para uma ideia-experiência -ou "quasi-experiência"- que sugere uma decomposição da conjectura original em subconjecturas, ou lemas, que neste processo ficam incluídas numa área de conhecimento, talvez muito distante. A nossa "demonstração", por exemplo, incrustou a conjectura original - sobre cristais ou, digamos, sólidos - na teoria das folhas de borracha. Descartes ou Euler, os pais da conjectura original, com certeza que nem sonharam com isto.
Notas:
1. Esta turma está bastante avançada. Para Cauchy, Poinsot e para tantos outros matemáticos excelentes do século XIX, estas questões nunca se puseram.
2. A ideia-experiência (deiknymi) foi o mais antigo padrão da demonstração matemática. Era dominante na matemática grega pré-euclideana (cf. A. Szabó [1958]).
Que as conjecturas (ou teoremas) precedem as demonstrações na ordem heurística era lugar comum para os matemáticos da antiguidade. Este facto devia-se à precedência heurística da "análise" em relação à "síntese". (Uma excelente discussão pode ser vista em Robinson [1936].) Segundo Proclo, "... é... necessário conhecer à partida o que se pretende demonstrar" (Heath [1925], I, p. 129). "Disseram que um teorema consiste no que é afirmado, juntamente com a intenção de demonstrar precisamente o que é afirmado" declarou Papo (ibid I, p. 10). Os gregos não se preocupavam muito com as afirmações que iriam depois demonstrar de modo dedutivo, sem terem previamente entrevisto essa demonstração. Chamavam-lhes porismas, corolários, resultados acidentais que surgiam na demonstração de um teorema, ou na resolução de um problema. Eram resultados que não tinham sido entrevistos, mas que apareciam assim mesmo, por acaso, sem necessidade de trabalho adicional, e que constituíam, tal como Proclo afirma, uma espécie de sorte inesperada (ermaion) ou bónus (kerdos) (ibid. I, p. 278). Pode ler-se no sumário editorial a Euler [1756-7] que teoremas aritméticos "foram descobertos muito antes de ter sido estabelecida a sua veracidade, com recurso a demonstrações rígidas". Tanto o autor do editorial como Euler utilizam para este processo de descoberta o termo moderno de "indução", em lugar do antigo "análise" (ibid.). A precedência heurística do resultado em relação ao argumento, do teorema em relação à demonstração, tem raízes profundas na tradição matemática. Observemos algumas citações variadas sobre um tema familiar: Diz-se que Chrysippus escreveu a Cleanthes: "Envia-me apenas os teoremas, depois descobrirei as demonstrações" (cf Diogenes Laertius [c. 2001, VIT. 179]. Parece que Gauss se lamentou: "Já há muito tempo que tenho os meus resultados, mas ainda não sei como chegar a eles" (cf. Arber [1945], p. 47), e Riemann: "Se eu tivesse pelo menos os teoremas, depois poderia encontrar as demonstrações com alguma facilidade." (cf. Hölder [1924], p. 487.). Pólya sublinha que "É necessário descobrir um teorema matemático, antes de ser demonstrado" ([1954], vol. 1, p. vi).
O termo "quasi-experiência" pertence ao sumário editorial a Euler [1753] que foi mencionado anteriormente. De acordo com o seu autor: "Como temos de referir os númerosao nível puramente intelectual, não é fácil compreendermos de que modo a observação e as "quasi-esperiências" podem ser utilizadas na investigação da natureza dos números. Apesar disso, de facto, tal como iremos mostrar aqui com fortes justificações, as propriedades dos números, actualmente conhecidas, foram na sua maioria descobertas a partir da observação..." (tradução de Pólya, na sua obra de 1954, vol. 1, p.3, onde atribui erroneamente a citação a Euler).
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