IX. Geometria no séc. XVII:
Área da ciclóide segundo Roberval
a) A ciclóide foi definida por Pascal como sendo “o caminho que faz no ar um prego numa roda [de madeira], quando esta rola no seu movimento normal, desde que o prego começa a elevar-se do chão até que o movimento contínuo da roda o traga de volta ao solo, depois de ter dado uma volta completa; isto supondo que a roda é uma circunferência perfeita, o prego um ponto na circunferência e a terra completamente plana.”
A ciclóide foi uma curva muito estudada no séc. XVII. O seu modo de geração e a descoberta das suas propriedades foram origem de inúmeras disputas entre os geómetras da época, de tal forma que lhe chamavam a “Helena dos geómetras’. Foi estudada por Galileu, Torricelli, Fermat, Roberval, Descartes e mais tarde por Huygens, Jean Bernoulli e Newton. As suas propriedades mais importantes são o facto de ser uma curva braquistócrona (descoberta por Bernoulli) - menor tempo de descida de um ponto a outro - e a tautócrona (devida a Huygens) - igual tempo de descida de qualquer ponto até ao ponto de altura mínima.
b) Para calcular a área sob a ciclóide, Roberval ( apoia-se na seguinte figura:
l) A curva AOBC é a semiciclóide gerada pelo rolamento sobre AD de uma circunferência de diâmetro CD. Seja AF uma perpendicular a AD e igual a DC. Trace-se a semicircunferência AGLF. Os segmentos HL eIG são paralelos a AD e equidistantes do centro da semicircunferência DESC. As semi-circunferências NOM e QBP são iguais à semicircunferência DESC e passam pelos pontos O e B, respectivamente, de intersecção de IG e HL com a ciclóide. Siga o raciocínio de Roberval, tentando justificar as suas afirmações:
• os segmentos GR e OV são iguais;
• os segmentos OV e BT são iguais;
Em seguida, Roberval (1602-1675) considera uma nova curva, a que chama “companheira da ciclóide”. Trata-se da curva AVTC.
A curva AVTC obtém-se traçando segmentos horizontais a partir da ciclóide, para a direita, iguais aos correspondentes segmentos medidos na semicircunferência AGLF (por exemplo, o ponto V obtém-se a partir do segmento GR, e o ponto T a partir do segmento LU .
E afirma
• o segmento GO é igual ao segmento RV, por sua vez igual ao segmento AN;
• o segmento AN é igual ao arco de semicircunferência NO;
• o arco NO é igual ao arco PB, por sua vez igual ao segmento PC, ou seja TH, ou ainda BS;
• conclui-se então que a curva AVTC é tal que para cada segmento RV existe um segmento igual TH; então a curva AVTC divide o rectângulo em duas partes de igual área;
• por outro lado, a área entre a ciclóide e a sua companheira é igual à área do semicírculo AGLF;
• como a área do rectângulo AFCD é igual a 2 R2, a área sob metade da ciclóide é igual a uma vez e meia a área da circunferência geradora.
Então a área sob a ciclóide é três vezes a área da circunferência geradora
Nota. esta actividade é inspirada em actividades semelhantes propostas por Évelyne Barbin na Université d'Été Européenne de 1983, em Montpellier.
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