VI. Geometria no séc. XVII:
Galileu e a roda de Aristóteles

No livro de Mecânica, atribuído a Aristóteles (IV séc. a.C.), vem descrito o seguinte paradoxo (dito da “roda de Aristóteles”):

A roda de raio OP roda sobre a recta PP’ sem escorregar. O ponto P volta a estar sobre a recta, na posição P’, ao fim de uma volta completa da roda. Entretanto, se considerarmos no interior da roda um círculo de raio OQ, menor do que OP, o círculo mais pequeno também dá uma volta completa, com a mesma velocidade angular. Ao fim dessa volta, o ponto Q ocupará a posição Q’. O segmento PP’ representa o perímetro do círculo de raio OP, e o segmento QQ’ parece representar também o perímetro do círculo de raio menor OQ. Como é isto possível?

1. Reflicta um pouco sobre esta situação, antes de ler os pontos seguintes, e tente encontrar uma explicação para a aparente contradição.

2. Herão (III séc. a.D.) (ou Heron) de Alexandria tentou dar uma explicação para este “ paradoxo”, no seu livro Mecânica. Segundo ele, quando o círculo maior roda sobre PP’, o círculo menor mantém a mesma velocidade que o maior porque tem dois movimentos; com efeito, se considerarmos o círculo pequeno simplesmente ligado ao primeiro, e não rolando, o seu centro deslocar-se-á a mesma distância PP’; ou seja, o círculo maior levará consigo o círculo pequeno ao longo da mesma distância, não tendo o rolamento do mais pequeno qualquer influência neste facto.
Reflicta sobre este comentário de Herão. Parece-lhe que ajuda a compreender melhor a questão? Porquê?

3. No tratado As duas novas ciências (sobre a dinâmica e a resistência de materiais) Galileu (1564-1642) interroga-se, no primeiro capítulo, sobre a coesão da matéria e avança uma hipótese explicativa: poderia haver na matéria, mesmo de extensão limitada, um número infinitamente grande de vazios; seriam esses vazios que manteriam os “átomos” ligados uns aos outros. Para apoio da sua argumentação, Galileu apresenta uma explicação do “paradoxo da roda”. Em vez de um círculo, imagina um polígono (por exemplo, um hexágono) a rolar, e outro hexágono mais pequeno concêntrico e solidário com o primeiro. Estuda o que acontece neste caso e depois considera que a circunferência é um polígono com um número infinito de lados. E a partir daí, chega a uma conclusão...

Tente recriar a explicação de Galileu a partir do desenho seguinte:

Bibliografia: François de Gandt, "Naissance et métamorphose d'une théorie mathématique: la géométrie des indivisibles en Italie", in Fragments d'Histoire des Mathématiques II, ed. APMEP, 1987.

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Eduardo Veloso
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Ultima revisão: 17 de Novembro de 1998
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