IV. Construções geométricas (II)

A. No fim do século XVIII -- em 1797 -- o matemático italiano Lorenzo Mascheroni, da Universidade de Pavia, publicou um tratado chamado A Geometria do Compasso, em que demonstrou o seguinte teorema:

Todos os problemas de construções geométricas resolúveis por meio de uma régua não graduada e de um compasso podem também ser resolvidas apenas com um compasso.

Evidentemente isto não quer dizer que se possam traçar rectas com um compasso. Nas construções feitas apenas com um compasso, considera-se determinada uma recta quando forem determinados dois dos seus pontos.
Até 1928 Mascheroni ficou com a honra de ter sido o primeiro a demonstrar este teorema. Nesse ano, no entanto, percebeu-se que tinha sido publicado em 1672, em Amsterdão, um livro -- O Euclides Dinamarquês -- em que G. Mohr demonstrava precisamente o mesmo resultado. Assim, com uma diferença de mais de um século, dois matemáticos tinham chegado independentemente a este mesmo resultado.
Utilize o Sketchpad para resolver, apenas com o auxílio do compasso, os problemas de construções geométricas que se seguem. Note que uma recta é dada, ou determinada, dando ou determinando dois dos seus pontos.

1. Construir o simétrico de um dado ponto relativamente a uma dada recta.

2. Dados os pontos A, B e C, verificar se o ponto C pertence à recta AB.

3. Dada uma recta definida por dois pontos, encontrar outros pontos sobre a mesma recta.

4. Dado um segmento AB, encontrar um segmento AC com o dobro do comprimento de AB. E encontrar um segmento com n vezes o comprimento de AB, com n natural.

5. Construir a intersecção de uma circunferência com uma recta.

6. Dada uma recta AB, determinar a perpendicular à recta AB passando por A.

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Eduardo Veloso
(veloso@mail.telepac.pt)
Ultima revisão: 11 de Outubro de 1998
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