Quando estudamos a geometria sobre a esfera, o plano euclidiano é substituído pela superfície esférica. Os pontos desta geometria são os pontos da superfície esférica e as figuras geométricas são traçadas sobre essa superfície. As rectas desta “geometria esférica” são as circunferências máximas da esfera (chamadas em geografia círculos máximos). Os triângulos e polígonos definem-se da maneira habitual.

1. Tente encontrar razões que justifiquem que as circunferências máximas — e não os paralelos, por exemplo — sejam tomadas como rectas na nova geometria. Para isso compare as propriedades das rectas do plano com as das geodésicas sobre a esfera.
Sugestões:
• considere processos habituais para verificar que três pontos são colineares;
• considere as transformações de simetria.

2. Tanto as rectas no plano como as circunferências máximas na superfície esférica são geodésicas dessas superfícies. Uma geodésica numa superfície caracteriza-se pela seguinte propriedade: "tomados dois pontos sobre a geodésica, de todos os caminhos ligando dois pontos da curva, o mais curto é a própria curva".
Quais serão as geodésicas sobre um cilindro? Dados dois pontos, quantas geodésicas existem unindo os dois pontos?
Mesmas questões relativas ao cone (deixe esta questão para "trabalho de casa").

3. Encontre aspectos em que as rectas da geometria sobre a esfera se distinguem claramente das da geometria euclidiana.

4. Chame equador a qualquer circunferência máxima. Para cada equador existem dois pólos.
Na esfera de Lénart, como pode construir o equador a partir de um dos pólos? E como pode construir os pólos a partir do equador?

4. Utilizando os acessórios da esfera de Lénart, meça distâncias entre pares de pontos e amplitude de ângulos na superfície esférica e compare com o caso do plano.

5. Compare a perpendicularidade e o paralelismo no plano e na superfície esférica.
a) Dados um ponto e uma recta, quantas perpendiculares à recta posso fazer passar pelo ponto?
b) Dadas duas rectas não coincidentes, quantas perpendiculares comuns podem ter?

6. Compare os polígonos no plano euclidiano e na superfície esférica.
a) Qual é o menor número de lados de um polígono?
b) Quantos triângulos são definidos por três pontos? Investigue propriedades dos ângulos internos e externos dos triângulos.
c) Investigue a possibilidade de construir quadriláteros análogos a paralelogramos, rectângulos, ... na geometria esférica.
6. Considere uma esfera de raio 1 e suponha fixados sobre essa esfera um Pólo Norte (PN), um Pólo Sul (PS) e um “meridiano de Greenwich”. Determine as amplitudes dos ângulos internos, a respectiva soma e a área de cada um dos seguintes triângulos esféricos (utilize apenas radianos como unidade de medida e aceite triângulos com um ou mais ângulos internos iguais a radianos):
a) PN, (lat 0°, long 45° E), lat 0°, long 45° W)
b) PN, (lat 0°, long 60° E), lat 0°, long 60° W)
c) PS, (lat 0°, long 30° E), lat 0°, long 30° W)
d) (lat 45° N, long 0°), (lat 0°, long 90° E), (lat 0°, long 90° W)
e) (lat 60° N, long 0°), (lat 0°, long 90° W), (lat 60° S, long 180° E).
7. Considere um ponto A sobre uma superfície esférica (de raio 1), o seu antípoda A’, e duas circunferências máximas passando por A e A’. Suponha que a amplitude do menor diedro formado pelos planos das circunferências é de 2/5.
a) Qual é a área da região da superfície esférica contida nesse diedro?
b) A região considerada na alínea a) designa-se habitualmente por lúnula definida pelas duas circunferências máximas. No exemplo da alínea a), tratava-se de uma lúnula de ângulo 2/5. Ao conjunto formado por uma lúnula de ângulo e pela sua antípoda chama-se lúnula dupla de ângulo . Tente encontrar uma expressão que dê a área de uma lúnula dupla em função do ângulo .
8. Considere numa superfície esférica de raio 1 três pontos A, B e C, o triângulo esférico ABC e suponha que os ângulos internos são respectivamente , e . Considere os lados do triângulo prolongados de modo a completar as respectivas circunferências máximas. Determine a área do triângulo ABC.
Sugestões:
• note que cada par de lados do triângulo esférico define uma lúnula dupla, de que conhece a área em função do correspondente ângulo interno;
• se tentar perceber com cuidado quais são as superfícies da esfera cobertas pelas três lúnulas duplas, poderá constatar que certas regiões da esfera são cobertas uma vez, outras duas.
9. Generalize a expressão da área que encontrou na alínea anterior para uma esfera de raio R.